遗传算法应用（实现十进制小数转换为二进制）

遗传算法应用

[1]、[2]、[3]在文章的最后用图像进行说明。

一、问题概述

求 y=10sin(5x)+7*|x-5|+10 最大值。函数图像如图：

二、问题解决

1.产生初始种群

用随机数生成器分别产生8、16、32^[1]个随机数作为初始种群。
由于给出的函数定义域是全体实数，且rand()函数只能生成[0,1]的随机数，我们取一个范围（如 [0,10]）作为倍率，以产生大于1的数

代码如下：

%% 设置变量
N=32;%初始群体大小，即产生N个在(a,b)范围内的随机数
a=0;%自变量取值下界
b=10;%自变量取值上界

%% 1.产生初始群体
initalGroup10=a+(b-a).*rand([N 1]);%初始群体，十进制编码

2.编码与解码

采用二进制编码，matlab默认编码位数。matlab中十进制转二进制函数dec2bin()默认会取最合适的编码位数。如果指定了编码位数，则多余部分会补零。
需要注意的是，matlab中的dec2bin()只能转换整数部分，小数部分会被自动省去。下面链接介绍了一种能将十进制小数转换为二进制的方法。这里我们先用dec2bin()。
matlab实现十进制小数转换为二进制

3.确定适应度

将初始种群带入目标函数，目标函数的值定为适应度。

    %% 2.求初始群体的适应度
    %适应度函数，即为目标函数
    adaptLevel = objectFun(initalGroup10);
    %将初始种群和适应度组合
    initalGroup = [initalGroup10 adaptLevel];

其中，objectFun() 代码如下：

function y = objectFun(x)
    y = 10.*sin(5.*x)+7.*abs(x-5)+10;
end

4.复制

采用轮盘赌的方法确定复制个体。

    %% 3.确定复制个体
    %确定需要复制的个体的序号
    copyIndex=trochalDisk(initalGroup,N);
    %copyIndex返回的序号是对initalGroup排序后的序号，因此对适应度值升序排序
    sortrows(initalGroup,-2);
    %复制后的种群
    copyGroup10=[];
    for i=1:size(copyIndex)
        copyGroup10=[copyGroup10 initalGroup(copyIndex(i),1)];
    end

其中，trochalDisk()是轮盘赌实现函数，代码如下：

function index =trochalDisk(pk,N)
%pk 轮盘每一份的值 
%N  轮盘的份数
    %排序
    sortrows(pk,-2);
    pk=pk(:,2);
    %确定轮盘法则的区间trochal
    trochal=cumsum(pk(:));
    
    %随机产生N个数，并确定在轮盘的哪个区间
    tc=trochal(1)+(trochal(end)-trochal(1)).*rand([N 1]);
    index=[];
    for i=1:size(tc)
        t=find(trochal>=tc(i));
        index=[index;t(1)];
    end
end

5.交叉和变异

需要依次确定交叉和变异中的几个随机。
1）交叉中有三个随机：个体随机、概率可调、编码位置随机。

用随机数生成器确定发生交叉的个体序号。
交叉概率为50%~80%^[2]，可以上下浮动。采用人为输入。
用随机数生成器确定发生交叉的编码位置（产生一个或多个，这里以多个为例）。

2）变异中有三个随机：个体随机、哪位变异随机、变异几位随机。

用随机数生成器确定发生变异的个体序号。
变异概率为0.1%~1%^[3]，可以上下浮动。采用人为输入。
用随机数生成器确定发生变异的编码位置（产生一个或多个，用随机数决定）。

代码如下：

crossProbility=0.07;%交叉概率50%~80%，可以上下浮动
variationProbility=0.001;%变异概率0.1%~1%，可以上下浮动
crossGroup = cross(crossProbility,copyGroup10);
variationGroup = variation(variationProbility,crossGroup);

其中，cross()是交叉实现函数，variation()是变异实现函数。

function crossGroup = cross(probility,group)
%crossGroup 交叉后的种群
%probility 交叉概率
%group 复制后的种群

%确定几个个体发生交叉，让每两个相邻个体发生交叉，因此定为偶数个
crossNumber=floor(probility*size(group,2));
if rem(crossNumber,2)~=0
    crossNumber = crossNumber+1;
end
%随机产生个体交叉的序号
crossIndex=floor(1+(size(group,2)-1).*rand([crossNumber 1]));
%随机产生个体交叉的位置，范围：1-二进制长度
group2=dec2bin(group);
crossPos=floor(1+(size(group2,2)-1).*rand([crossNumber/2 1]));

%交叉
for i=1:2:crossNumber
%下面这段代码和C语言中最基本的swamp()函数效果一样
    temp=group2(crossIndex(i),crossPos:end);
    group2(crossIndex(i),crossPos:end)=group2(crossIndex(i+1),crossPos:end);
    group2(crossIndex(i+1),crossPos:end)=temp;
end
%将2进制变为10进制
crossGroup=bin2dec(group2);
end

function variationGroup = variation(probility,group)
%variationGroup 变异后的种群
%probility 变异概率
%group 变异后的种群

%确定几个个体发生变异
variationNumber=floor(probility*size(group,2));
%随机产生个体变异的序号
variationIndex=floor(1+(size(group,2)-1).*rand([variationNumber 1]));
group2=dec2bin(group);
%确定发生变异的位置的个数
variationPosNum=floor(1+(size(group2,2)-1));
%随机产生个体变异的位置,1-二进制长度
variationPos=floor(1+(size(group2,2)-1).*rand([variationPosNum 1]));

%变异
for i=1:variationNumber
    for j=1:variationPosNum
        if group2(variationIndex(i),variationPos(j))==0
            group2(variationIndex(i),variationPos(j))='1';
        else
            group2(variationIndex(i),variationPos(j))='0';
        end
    end
end

variationGroup=bin2dec(group2);
end

6.适应度验算

以本次迭代和上一次迭代适应度值改变量是否小于给定精度，决定是否终止循环。

下面给出主函数

clear,clc
%% 设置变量
N=32;%初始群体大小，即产生N个在(a,b)范围内的随机数
a=0;%自变量取值下界
b=10;%自变量取值上界
esp=0.0001;%精度

crossProbility=0.7;%交叉概率50%~80%，可以上下浮动
variationProbility=0.005;%变异概率0.1%~1%，可以上下浮动

maxX=[];
maxAdapt=[];
count=0;%记录迭代次数

%% 1.编码，产生初始群体
initalGroup10=a+(b-a).*rand([N 1]);%初始群体，十进制编码
while true
    count=count+1;
    %% 2.求初始群体的适应度
    %适应度函数，即为目标函数
    adaptLevel=objectFun(initalGroup10);
    initalGroup=[initalGroup10 adaptLevel];
    
    %% 5.适应度验算
    %对initalGroup适应度值升序排序
    sortrows(initalGroup,-2);
    
    %画图用
    index=find(initalGroup(:,2)==max(initalGroup(:,2)));
    maxX=[maxX initalGroup(index(1),1)];
    %最大适应度，如果求的是目标函数的最小值，就保留最小值
    maxAdapt=[maxAdapt initalGroup(index(1),2)];

    if size(maxX,2)~=1
        if abs(maxX(end)-maxX(end-1))<esp
            break;
        end
    end
    
    %% 3.确定复制个体
    copyIndex=trochalDisk(initalGroup,N);
    copyGroup10=[];
    for i=1:size(copyIndex)
        copyGroup10=[copyGroup10 initalGroup(copyIndex(i),1)];
    end
    
    %% 4.交叉与变异
    %交叉中的随机：个体随机、交叉位置随机、概率可调
    %变异中的随机：个体随机、哪位变异随机、变异几位随机
    crossGroup = cross(crossProbility,copyGroup10,a,b,esp);
    variationGroup = variation(variationProbility,crossGroup',a,b,esp);
    
    %% 为下次循环准备
    %交叉和变异过程中难免会出大于给定范围的值
    %将所有超出范围的值设成最大值
    %因为下面还会给每个数加上小数部分，所以最大值取范围上界-1
    variationGroup(find(variationGroup>=(b-1)))=b-1;
    %前面说到dec2bin只会编码整数部分，所以我们在这里加一个小数部分。
    %可以尝试一下去掉会是什么样子
    initalGroup10=variationGroup+rand([N 1]);
end

下面是一些实验结果图和分析过程

各个图参数如下：

N=32;%初始群体大小，即产生N个在(a,b)范围内的随机数
a=0;%自变量取值下界
b=10;%自变量取值上界
esp=0.0001;%精度
crossProbility=0.7;%交叉概率50%~80%，可以上下浮动
variationProbility=0.005;%变异概率0.1%~1%，可以上下浮动

[1]：在图1所用参数的基础上，选择不同种群大小，发现种群越大，迭代次数越少，越容易能达到全局最优

[2]：在图1所用参数的基础上，选择不同交叉概率。做了30多次实验。。。才疏学浅，实在发现不了任何关系。。。

[3]：在图1所用参数的基础上，选择不同变异概率。同样，也没发现任何关系。。。

[4]:在图1所用参数的基础上，采用十进制小数转换为二进制的编码方式。一定要提高变异概率

采用含小数的二进制后，二进制编码位数会加长，需要提高变异概率。
如 9.9283，dec2bin() 编码只考虑整数部分，编码结果是 ‘1001’ ，每次变异产生差为1的概率是1/16 = 6.25%；而考虑到小数后编码结果为 ‘10011110110110100’（整数部分占4位，小数部分占13位），每次变异产生差为1的概率是2^4/217 = 0.012%。
综上，采用含小数的二进制后，变异概率为编码方式为dec2bin()的变异概率的100倍左右，才会产生比较好的结果。

左图是变异概率为0.1%时的结果，右图是变异概率为10%时的结果。