将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂,整数部分和小数部分的算法不一样。
1) 整数部分
十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余,逆序排列”法。具体做法是:
将 N 作为除数,用十进制整数除以 N,可以得到一个商和余数;
保留余数,用商继续除以 N,又得到一个新的商和余数;
仍然保留余数,用商继续除以 N,还会得到一个新的商和余数;
……
如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以 N,直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字,后得到的余数作为 N 进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了 N 进制数字。
例如 将十进制数字 36926 转换成八进制:
在这里插入图片描述
从图中得知,十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。将例如 将十进制数字 42 转换成二进制:
在这里插入图片描述
从图中得知,十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。
*2) 小数部分
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整,顺序排列”法。具体做法是:
用 N 乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;
将积的整数部分取出,再用 N 乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;
再将积的整数部分取出,继续用 N 乘以余下的小数部分;
……
如此反复进行,每次都取出整数部分,用 N 接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为 0,或者达到所要求的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了 N 进制小数。

例如 将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数:
在这里插入图片描述
从图中得知,十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。
例如 将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数
在这里插入图片描述
从图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为0.1011。

如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分,那么将整数部分和小数部分开,分别按照上面的方法完成转换,然后再合并在一起即可。例如:
十进制数字 369260.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345;
十进制数字 42.0.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。
下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系:
在这里插入图片描述
注意,十进制小数转换成其他进制小数时,结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子:
十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111…,是一个循环小数;
十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110…,是一个循环小数;
十进制 0.625 对应的二进制为 0.101,是一个有限小数。
二进制和八进制、十六进制的转换
其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制:
在这里插入图片描述
从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。

八进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制:
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从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。
下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制:
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从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制:
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从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。
总结:数制之间的转换方法大都这样,只有多加练习方能熟练运用!

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