最小生成树学习笔记

一、主要算法

Prim

• 给定一张无向图,求它的最小生成树。
• 初始时我们将s打上标记。对于每个未标记的点i,我们记f[i]表示i连向已标记的点的边中,边权（到生成树距离）的最小值。
• 每次我们找到未标记的点中f最小的,将它打上标记并更新其余点的f值。
• 时间复杂度O(n2),用堆维护f值可以优化至O(mlogn)

Kruskal

• 给定一张无向图,求它的最小生成树。
• 将所有边按照边权从小到大顺序排序。
• 如果一条边加入之后不存在环就加入。
• 用并查集维护点的连通性。
• 时间复杂度O(mlogm)

---

二、一些补充

次小生成树

• 这里指的非严格次小：即可能存在一个图，其最小生成树与次小生成树的边权和相等。
• 次小生成树可以由最小生成树更换一条边得到
• 首先构造原图的最小生成树，然后枚举每一条不在最小生成树中的边 (u, v, w)，尝试将这条边加入生成树，因为直接加入边会产生环，所以我们需要在加边之前删去最小生成树上 u 到 v 的路径上权值最大的边。
• 在枚举每一条边时我们都会得到一棵生成树，这些生成树中边权和最小的即为要求的次小生成树。