[ABC156E]Roaming--每日博文(4.3)

Cherrt的第一篇的题解哦~

题意

若n个不同的屋子里各有一个人，求经过 $k$次串门后各个屋子里人数的不同格局的数量。答案对 $10^9+7$取模。

题解

首先，看一下数据范围，发现 $k≤10^9$——所以时间复杂度完全不能依赖k。

接着我们发现，当 $k≥n$时，每种格局都是可能形成的。换句话说， $k≥n$时相当于将n个相同的苹果放入 $n$个盘子里，求出盘子里苹果数量的格局。这时可以使用插板法，即 $C(n-1,2*n-1)$(不懂请看福利)。

如果 $k＜n$，那么就不可能形成所有格局。这时考虑将所有格局的数量( $C(n-1,2*n-1)$)减去所有无法得到的格局的数量。

易得，当空房的数量大于 $k$时不合法，即非空房的数量小于等于 $n-k$时不合法。然后，我们可以枚举非空房的数量 $i$，累加即可。再次得到，当非空房的数量为i时，格局的数量为 $C(n,i)*C(n-1,i-1)$(不懂请看福利)。

于是思路就很清晰啦! 但是要注意一些东西，否则会死得一批得惨 。

卡点(注意点)

①逆元；

②刚才说过要减去不满足要求的格局数量，所以要始终保持答案非负性；

③做阶乘逆元的时候，数组一定要开大；否则RE。

事实上难度并不是很大······也就普及+/提高吧。

福利

我知道阁下可能不懂那两个式子怎么推出来的。不着急，看个例子就明白了。

将n个相同苹果放到k个不同的盘子里，每个盘子可以为空，求格局数量?

假设有 $2×k$个苹果。我们可以考虑插板，即在 $2*k-1$个间隙中插板，两个板之间苹果的数量减一就是该盘子内苹果的数量。

这是最基本的小学奥数啊

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxlen=200000;

int n,k,mod=1e9+7,ans=0ll;
int jc[5*maxlen+5];

int quick_power(int a,int b)
{
	int res=1;
	for (;b;b=b>>1,a=(a*a)%mod)
	{
		if (b&1)  res=(res*a)%mod;
	}
	return res;
}

int ny(int n)
{
	return quick_power(n,mod-2)%mod;
}

int C(int n,int k)
{
	if (k<=0||n==k)  return 1;
	if (2*k>n)  k=n-k;
	
	return ((jc[n]*ny(jc[n-k])%mod)*ny(jc[k]))%mod;
}

inline void get_all_jc()
{
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=5*maxlen;i++)  jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;
}

signed main()
{
	cin>>n>>k;
	get_all_jc();
	
	if (k>n)  return cout<<C(2*n-1ll,n)<<endl,0;
	else
	{
		ans=C(2*n-1ll,n);
		for (int i=1;i<=n-k-1;i++)  ans=((ans-C(n,i)*C(n-1,i-1))%mod+mod)%mod;
		return cout<<ans<<endl,0;
	}
}

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