状态估计第一讲：概述与基础知识

状态估计简介

状态估计在自动控制系统里的作用：

• 状态估计，是根据系统的先验模型和测量序列，对系统内在状态进行重构的问题

概率密度函数

我们定义x为区间[a,b]上的随机变量，服从某个概率密度函数p(x),那么这个非负函数必然满足:
$\mathop{ \int }\nolimits_{{a}}^{{b}}p{ \left( {x} \right) } \text{d} x=1$
随机变量在在某区间的积分即为概率：
$Pr(c<=x<=d)=\mathop{ \int }\nolimits_{{c}}^{{d}}p{ \left( {x} \right) } \text{d} x$
• 条件概率:
$({\forall}y),Pr(c<=x<=d)=\mathop{ \int }\nolimits_{{c}}^{{d}}p{ \left( {x|y} \right) } \text{d} x$
• 联合概率:
$p{ \left( {x_1,x_2,x_3……x_N} \right) }$
联合概率也满足全概率公理:
$\mathop{ \int }\nolimits_{{a}}^{{b}}p{ \left( {x} \right) } \text{d} x=\mathop{ \int }\nolimits_{{a_N}}^{{b_N}}…\mathop{ \int }\nolimits_{{a_2}}^{{b_2}}\mathop{ \int }\nolimits_{{a_1}}^{{b_1}}p{ \left( {x_1,x_2……x_N} \right) }\text{d} x_1\text{d} x_2…\text{d} x_N$
• 贝叶斯公式：
联合=条件*边缘
$p{ \left( {x,y} \right) }=p{ \left( {x|y} \right) }*p{ \left( {y} \right) }=p{ \left( {y|x} \right) }*p{ \left( {x} \right) }$
$p{ \left( {x|y} \right) }=\frac{p{ \left( {y|x} \right) }*p{ \left( {x} \right) }}{p{ \left( {y} \right) }}$
• 赋予该式物理意义：x=状态，y=传感器读数，p(y|x)=传感器模型，p(x|y)=状态估计
• 矩（moments）:
• 0阶矩恒等于1
• 1阶矩称为期望（Expectation）
• 2阶矩称为协方差（Covariance）
• 3阶和4阶称为偏度（skewness）和峰度（kurtosis）
• 随机变量的统计独立性:
随机变量x,y满足: $p(x,y)=p(x)p(y)$
• 随机变量不相关性:
$E[xy^T]=E[x]E[y]^T$
• 独立性可推出不相关性，反之不行
• 对于高斯分布来说，独立性=不相关性
• 归一化积：
融合多个概率分布的时候需要用到归一化积，若 $p_1(x)$和 $p_2(x)$是关于x的两个分布，那么它们的归一化积为:
$p(x)=\eta p_1(x)p_2(x)$, $\eta$是归一化因子，使得概率积分为1。

高斯概率密度函数

• 一维高斯概率分布：
$p(x|\mu,\delta)=\frac {1}{\sqrt{2\pi\delta^2}}\exp(-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\delta^2})$

• 联合高斯分布：
$p(x,y)=N(\left[ \begin{matrix} \mu_x \\ \mu_y \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right])$
• 高斯推断：
对联合概率分布的协方差矩阵进行三角化然后求逆可得：

$\left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & \sigma_{xy}\sigma_{yy}^{-1} \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \sigma_{xx}-\sigma_{xy}\sigma_{yy}^{-1} \sigma_{yx}& 0 \\ 0 & \sigma_{yy} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ \sigma_{yy}^{-1}\sigma_{yx} & 1 \end{matrix} \right]$
两边求逆：
$\left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{matrix} \right]^{-1}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ -\sigma_{yx}\sigma_{yy}^{-1} & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {[\sigma_{xx}-\sigma_{xy}\sigma_{yy}^{-1} \sigma_{yx}]}^{-1}& 0 \\ 0 & \sigma_{yy}^{-1} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & -\sigma_{yy}^{-1}\sigma_{xy} \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]$


• 高斯分布的独立性和不相关性： 互相等价
• 高斯分布的线性变换：
高斯分布x~ $N(\mu_x,\sigma_{xx})$
y=Gx,则y分布为:
y~ $N(G\mu_x,G\mu_{xx}G^T)$
• 高斯分布的归一化积
• 高斯分布的非线性变换：
高斯分布x~ $N(\mu_x,\sigma_{xx})$
y=g(x)为非线性变换,则y分布为:
$p(y|x)$~ $N(g(x),R)$,g为非线性变换，且受到噪声R干扰，在 $\mu_x$处对g进行线性化可得：
$g(x)\approx\mu_y+G(x-\mu_x)$,G为g(x)在 $x=\mu_x$处的雅克比矩阵，最后可得:
y~ $N(g(x),R+G\sigma_{xx}G^T)$
• 高斯过程：
非常烧脑，提供一些资料如下：
高斯过程在连续时间SLAM与运动规划中的应用
图文详解高斯过程