3.0 引子

图书馆自习的时候,一女生背着一堆书进阅览室,结果警报响了,大妈让女生看是哪本书把警报弄响了，女生把书倒出来，一本一本的测。大妈见状急了，把书分成两份,第一份过了一下,响了。又把这一份分成两份接着测，三回就找到了，大妈用鄙视的眼神看着女生，仿佛在说 O(N)和 O(logN）都分不清。

这就是二分法。（欲知故事后续，请继续往下看）

3.1 经典二分问题

经典二分问题：给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target 。

写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9。输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2。输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

思路1：我们当然可以一个数一个数的遍历，但是毫无疑问要被大妈鄙视，这可怎么办呢？

思路2：二分查找
二分查找是一种基于比较目标值和数组中间元素的教科书式算法。

如果目标值等于中间元素，则找到目标值。
如果目标值较小，证明目标值小于中间元素及右边的元素，继续在左侧搜索。
如果目标值较大，证明目标值大于中间元素及左边的元素，继续在右侧搜索。

算法代码描述：

初始化指针 left = 0, right = n - 1。
当 left <= right：
比较中间元素 nums[pivot] 和目标值 target 。
如果 target = nums[pivot]，返回 pivot。
如果 target < nums[pivot]，则在左侧继续搜索 right = pivot - 1。
如果 target > nums[pivot]，则在右侧继续搜索 left = pivot + 1。

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算法实现：照例贴出三种语言的实现，在Java实现中给出了详细注释

class Solution {
  public int search(int[] nums, int target) {
	//分别准备好左右端点
    int left = 0, right = nums.length - 1;
	//循环二分
    while (left <= right) {
	//取中点
      int pivot = left + (right - left) / 2;
	  //找到答案并返回
      if (nums[pivot] == target) return pivot;
	  //向左继续找
      if (target < nums[pivot]) right = pivot - 1;
	  //向右继续找
      else left = pivot + 1;
    }
	//未找到，返回-1
    return -1;
  }
}

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            pivot = left + (right - left) // 2
            if nums[pivot] == target:
                return pivot
            if target < nums[pivot]:
                right = pivot - 1
            else:
                left = pivot + 1
        return -1

class Solution {
  public:
  int search(vector<int>& nums, int target) {
    int pivot, left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left <= right) {
      pivot = left + (right - left) / 2;
      if (nums[pivot] == target) return pivot;
      if (target < nums[pivot]) right = pivot - 1;
      else left = pivot + 1;
    }
    return -1;
  }
};

请记住这个代码，因为整篇文章，整个二分思想，都和这段代码息息相关，这也是最基础的二分问题。

3.2 基础二分小变形1

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。你可以假设数组中无重复元素。

思路：我们注意，这一题和上一题的区别在于，这一题并不存在‘没找到’这种情况，因为要插入到”第一个比目标值大的数“的左边，返回这样一个插入位置，你不可能”找不到“，不可返回-1。

事实上，我们的目标也再不是找到一个相同的数字，而是找到第一个比目标值大的数，也就是插入位置。

而我们第一段代码的返回答案也可以省略了，代码的内部逻辑是”一路找到最后，返回的一定是答案“，而上段代码的逻辑是”边找边判断，找到最后还没有找到，就返回-1“。

下面是代码：

public class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int len = nums.length;
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

提醒：所以，如果你是一个想注重细节，做到写二分代码不出错，那么你就需要关心最后返回值，while结束条件，while内部是否加判断等等这些细节了。

3.3基础二分小变形2

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例 1:输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8输出: [3,4]
示例 2:输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6输出: [-1,-1]

思路：两个二分，稍微改一下，就可以找到第一个target或最后一个target；

本元素和前面一个元素不相等，才代表找到了最左边的目标元素。

本元素和后面一个元素不相等，才代表找到了最右边的目标元素。

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int[] ans=new int[2];
        ans[0]=searchRangeLeft(nums,target);
        ans[1]=searchRangeRight(nums,target);
        return ans;
    }
    public int searchRangeLeft(int[] nums, int target) {
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        while(left<=right){
            int mid=(left+right)/2;
            if(nums[mid]>target){
                right=mid-1;
            }else if(nums[mid]<target){
                left=mid+1;
            }else if(mid==0 || nums[mid-1]!=target){
                return mid;
            }else{
                right=mid-1;
            }
        }
        return -1;
    }
    public int searchRangeRight(int[] nums, int target) {
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        while(left<=right){
            int mid=(left+right)/2;
            if(nums[mid]>target){
                right=mid-1;
            }else if(nums[mid]<target){
                left=mid+1;
            }else if(mid==nums.length-1 || nums[mid+1]!=target){
                return mid;
            }else{
                left=mid+1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

注意：如果你找到一个target，然后向左向右线性查找是不对的，这样时间会退化为O(N)，和二分的本意违背了。

3.4泛化二分的概念

看到第一节，可能大部分人都没有问题；

看到第二节，可能对有些写二分总有bug的同学有一些帮助，会觉得”细节确实需要注意“，二分查找从此要一次就bug free；

至此，我们看一下百度百科对二分的定义：

简单来说，我们介绍的就是在顺序存储结构（数组）有序的情况下进行二分查找。

从第四节开始，我们介绍的就不是传统意义上的二分查找了，不局限于”有序“，甚至不局限于线性结构，while循环里判断向左还是向右搜索的条件也不会这么单一，而更可能是这样：

while (范围没有缩小为0) {
if (满足某种条件) {
排除一半答案
} else {
排除另一半答案
}
}

我们的思想是：只要可以通过正确逻辑，用二分思想正确的缩小查找范围，都称之为二分。

下面就来体会一下什么是二分思想：

我们正在玩一个猜数字游戏。游戏规则如下：
我从 1 到 n 选择一个数字。你需要猜我选择了哪个数字。
每次你猜错了，我会告诉你这个数字是大了还是小了。
你调用一个预先定义好的接口 guess(int num)，它会返回 3 个可能的结果（-1，1 或 0）：

-1 : 我的数字比较小
1 : 我的数字比较大
0 : 恭喜！你猜对了！
示例 :

输入: n = 10, pick = 6输出: 6

/* The guess API is defined in the parent class GuessGame.
   @param num, your guess
   @return -1 if my number is lower, 1 if my number is higher, otherwise return 0
      int guess(int num); */

public class Solution extends GuessGame {
    public int guessNumber(int n) {
        int low = 1;
        int high = n;
        while (low <= high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            int res = guess(mid);
            if (res == 0)
                return mid;
            else if (res < 0)
                high = mid - 1;
            else
                low = mid + 1;
        }
        return -1;
    }
}

你看，这就是把条件抽象成一个接口，完全脱离了线性数据结构，更和有序无序没关系，只是二分的思想。

3.5在线性结构上二分的题目积累

例1

峰值元素是指其值大于左右相邻值的元素。给定一个输入数组 nums，其中 nums[i] ≠ nums[i+1]，找到峰值元素并返回其索引。

数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回任何一个峰值所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞。

示例 1:输入: nums = [1,2,3,1]输出: 2
解释: 3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
示例 2:输入: nums = [1,2,1,3,5,6,4]输出: 1 或 5
解释: 你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
或者返回索引 5，其峰值元素为 6。
说明:你的解法应该是 O(logN) 时间复杂度的。

思路：

可以用二分的要求：线性表能够根据中间元素的特点推测它两侧元素的性质，以达到缩减问题规模的效果即可，不一定非要有序

具体到本题来说，我们如何做到搜索到任何一个“峰值”呢？请看图：

要先有上升的趋势，后有下降的趋势。更通俗一点就是说，要保证前一个数字比峰值小，后一个数字比峰值大，我们只要每次搜索都满足这个条件，搜到最后就一定可以找到某个峰值，因为从递增到递减，肯定是因为中间有峰值的存在所导致的。

我们看中点，如果中点向右有递增趋势，我们就继续搜索右边：

反之，有向左递增的趋势，我们就搜左边：

下面给出代码：

public class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int l = 0, r = nums.length - 1;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] > nums[mid + 1])
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
}

我们发现，这个题目的代码逻辑就是第二节的”一路找到最后，返回的一定是答案“，不同于最基础的二分”边找边判断，找到最后还没有找到，就返回-1“。我们是缩小范围到最后，找到了答案l。

例2：

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。

请找出其中最小的元素。

你可以假设数组中不存在重复元素。

示例 1:

输入: [3,4,5,1,2]输出: 1
示例 2:

输入: [4,5,6,7,0,1,2]输出: 0

分析：

如果数组没有翻转，即 nums[left] <= nums[right]，则 nums[left] 就是最小值，直接返回。

如果数组翻转，需要找到数组中第二部分的第一个元素：

。

下面讨论数组翻转的情况下，如何收缩区间以找到这个元素：

若 nums[left] <= nums[mid]，说明区间 [left,mid] 连续递增，则最小元素一定不在这个区间里，可以直接排除。因此，令 left = mid+1，在 [mid+1,right] 继续查找。

否则，说明区间 [left,mid] 不连续，则最小元素一定在这个区间里。因此，令 right = mid，在 [left,mid] 继续查找
[left,right] 表示当前搜索的区间。

注意 right 更新时会被设为 mid 而不是 mid-1，因为 mid 无法被排除。

class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        if(nums.length==1)return nums[0];
        if(nums[0]<nums[nums.length-1])return nums[0];
        int left=0;
        int right=nums.length-1;
        int mid=0;
        while(left<right){
            mid=(left+right)/2;
            if(nums[mid]>=nums[0]){
                left=mid+1;
            }else{
                right=mid;
            }
        }
        return nums[right];
    }
}

例3：其它条件和例2一样，例3要搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。

思路：（请先自行思考）

先通过例2的方法找到分割点，再对左右某一边进行二分即可，代码请自行书写。

3.6二维数组的二分查找

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

每行中的整数从左到右按升序排列。
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
示例 1:
matrix = [
[1, 3, 5, 7],
[10, 11, 16, 20],
[23, 30, 34, 50]
]
target = 3
输出: true
示例 2:
matrix = [
[1, 3, 5, 7],
[10, 11, 16, 20],
[23, 30, 34, 50]
]
target = 13
输出: false

仔细观察我们发现，其实这个二维数组整体就是有序的，所以当成一维数组二分查找即可，但是要注意二维数组的操作，需要一点功底。

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0) {
            return false;
        }
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
        int start = 0;
        int end = row * col - 1;
        while (start <= end) {
            int mid = start + (end - start) / 2;
            if (matrix[mid / col][mid % col] == target)return true;
            else if (matrix[mid / col][mid % col] > target)end = mid - 1;
            else start = mid + 1;
        }
        return false;
    }
}

注意：这里有个细节：正规的二分其实都应该这么写，之前的写法可能会溢出。

3.7二叉树上二分的题目积累

我们刚才学会了一些一维二维数组的二分操作，下面我们再去其它数据结构试试看，继续养成二分的思想。

例1：先看一道简单的在二叉树上查找值。

给定一个不为空的二叉搜索树和一个目标值 target，请在该二叉搜索树中找到最接近目标值 target 的数值。

注意：

给定的目标值 target 是一个浮点数，题目保证在该二叉搜索树中只会存在一个最接近目标值的数。
示例：

输入: root = [4,2,5,1,3]，目标值 target = 3.714286

    4
   / \
  2   5
/ \
1   3

输出: 4

思路：二分，当前节点比target大就往左边搜（因为右边的差距更大），当前节点比target小就往右搜（因为左边的差距更大）。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
  public int closestValue(TreeNode root, double target) {
    int val, closest = root.val;
    while (root != null) {
      val = root.val;
      closest = Math.abs(val - target) < Math.abs(closest - target) ? val : closest;
      root =  target < root.val ? root.left : root.right;
    }
    return closest;
  }
}

例2

给出一个完全二叉树，求出该树的节点个数。

说明：

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。

示例:

输入:
    1
   / \
  2   3
/ \ /
4 5 6

输出: 6

思路：如果不考虑最后一层，节点数完全可以算出来，每一层分别为1，2，4，8....你会发现是2的n次方，那么总和也很好求，所以问题就在于如何知道最后一层有多少节点，换句话说，最后一层的最右边的那个节点在哪里？我们需要二分搜索。

目标：找箭头指向的结点。

我们采用二分法：

1）找到右子树的最左结点

我们知道总深度为4，如果右子树深度为3（4-1），说明图中最后的1是存在的（说明最后一行最右结点一定来自右子树），否则，如果我们修改一下如下图：

右子树深度为2！=4-1，不存在最后一行的结点。（说明最后一行最右结点一定来自左子树）.

2）判断之后，如果是这种情况，我们排除了左子树，计算排除的结点个数，并对右子树（如图2）做相同的处理。

更新结点数（未被框起的部分，满二叉树公式+1）+1是根结点

3）对方框内重复此过程。

我们继续看右子树，发现右子树深度为1！=3-1.

说明最深层最右结点来自于左子树。所以对左子树重复上述过程

我们发现，右子树深度=1=2（整棵树深度）-1，说明最深层最右结点来自于右子树，所以对右子树重复此过程。

最终找到它。


public class Demo {
	public static class Node {
		public int value;
		public Node left;
		public Node right;

		public Node(int data) {
			this.value = data;
		}
	}
//返回结点个数
	public static int nodeNum(Node head) {
		if (head == null) {
			return 0;
		}
		return bs(head, 1, mostLeftLevel(head, 1));
	}
//返回根为node，当前层数为l，总深度为h的结点个数
	public static int bs(Node node, int l, int h) {
		if (l == h) {
			return 1;
		}
		if (mostLeftLevel(node.right, l + 1) == h) {             //右子树最深一行最左为空
			return (1 << (h - l)) + bs(node.right, l + 1, h);    //右bs+左子树结点个数
		} else {                                                 //右子树最深一行最左不为空
			return (1 << (h - l - 1)) + bs(node.left, l + 1, h);//左bs+右子树结点个数
		}
	}
//计算树的高度
	public static int mostLeftLevel(Node node, int level) {
		while (node != null) {
			level++;
			node = node.left;
		}
		return level - 1;
	}

	public static void main(String[] args) {
		Node head = new Node(1);
		head.left = new Node(2);
		head.right = new Node(3);
		head.left.left = new Node(4);
		head.left.right = new Node(5);
		head.right.left = new Node(6);
		System.out.println(nodeNum(head));
	}
}

我们再回忆第4节泛化概念时给的伪代码：

while (范围没有缩小为0) {
if (满足某种条件) {
排除一半答案
} else {
排除另一半答案
}
}

其实真的就是这样的，一个终止条件（本题就是l==h），一个if判断条件（本题就是mostLeftLevel(node.right, l + 1) == h），注意细节，就可以进行各种广义的二分啦。

3.8数学中的二分

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

输入: 4输出: 2
示例 2:

输入: 8输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842...,
由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
思路依旧是二分，格式和上文都一样。

public class Solution {
 
    public int mySqrt(int x) {
        long left = 0;
        long right = Integer.MAX_VALUE;
        while (left < right) {
            long mid = (left + right + 1) >>> 1;
            long square = mid * mid;
            if (square > x) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        return (int) left;
    }
}

3.9最大化或最小化问题

如果在求解最大最小问题中，能比较简单的判断某个解是否满足条件（这里的简单一般指的是o(n)及以下，视具体数据范围而定），使用二分搜索答案就能很好的解决问题。

举个例子，POJ1064

题目链接：http://poj.org/problem?id=1064

题目大意：有n条绳子，长度分别为L[i]。如果从他们中切割出k条长度相同的绳子的话，这k条绳子每条最长能有多长？（答案保留小数点后两位，规定1单位长度的绳子最多可以切割成100份）。

思路：二分搜索答案，每条最短0，最大设置一个较大的数，然后开始二分答案并依次判断，判断也很简单，判断每个绳子的长度整除答案的累加和是不是大于k就好了。

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int M=10005;
const double inf=200005.0;
double L[M];
int n,k;
bool judge(double x)//判断解是否可行
{
    int num=0;
    for(int i=0;i<n;i++)num+=(int)(L[i]/x);
    return num>=k;
}
void solve()//二分答案
{
    double left=0,right=inf;
    for(int i=0;i<100;i++) //代替while(r>l) 避免了精度问题
    { //1次循环可以把区间缩小一半，100次可以达到10^(-30)的精度
        double mid=(left+right)/2;
        if(judge(mid)) left=mid;
        else right=mid;
    }
    printf("%.2f\n",floor(right*100)/100);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=-1)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&L[i]);
        solve();
    }
}

POJ2456

题意：

有n个牛栏，选m个放进牛，相当于一条线段上有 n 个点，选取 m 个点，

使得相邻点之间的最小距离值最大

思路：和上一道题类似，二分答案，判断答案也很简单，贪心即可，遍历，遇到大于枚举的距离就放一只牛，看最后能不能放得下。