Chirp信号公式与对离散生成算法之间的差异

讨论产生线性频率变化的公式和它的离散公式之间的差异，并提出Chirp信号的修改方案。

Chirp信号的公式

对于固定频率 $f_1$的信号，它的表达式为： $r\left( t \right) = \cos \left( {2\pi \cdot f_1 \cdot t} \right)$

其中正弦信号中的相位是频率对时间的积分： $\theta \left( t \right) = 2\pi \cdot \int_0^t {f_1 \cdot d\tau } = 2\pi \cdot f_1 \cdot t$

Chirp信号的频率是变化的，一种最简单的变化就是线性变化，从开始 $t = t_0$的频率 $f_{start}$，一直线性变化到 $t = t_1$时的频率 $f_{end}$。那么任何时刻的频率值为： $f\left( t \right) = {{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 - t_0 }} \cdot t + f_{start}$

对应的正弦信号相角为： $\theta \left( t \right) = 2\pi \cdot \int_{t_0 }^{t_1 } {f\left( \tau \right)d\tau } = 2\pi \int_{t_0 }^{t_1 } {{{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 - t_0 }} \cdot \tau + f_{start} d\tau }$ $= 2\pi \left[ {{{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 - t_0 }} \cdot {1 \over 2}\left( {t_{}^2 - t_0^2 } \right) + f_{start} \left( {t_{} - t_0 } \right)} \right]$

如果假设 $t_0 = 0$，那么上面的公式就是： $\theta \left( t \right) = 2\pi \left[ {{{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 }} \cdot {1 \over 2}t^2 + f_{start} \cdot t} \right]$

所以，Chirp信号的公式为：
$r\left( t \right) = \cos \left[ {2\pi \cdot \left( {{{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 }} \cdot {1 \over 2}t^2 + f_{start} \cdot t} \right)} \right]$

下面是在智能车比赛中相应的参数：

起始时间： $t_0 = 0s$
结束时间： $t_1 = 0.2048s$
起始频率： $f_{start} = 250Hz$
结束频率： $f_{end} = 2000Hz$

利用时间间隔 $t_s = 1/f_s = 100\mu s$对该信号进行离散化，得到的波形为：

^{▲ 通过上述公式产生的Chirp信号波形}

def chirpf(t):
    return cos(2*pi*((fend-fstart)/t1*0.5*t*t+fstart*t))

使用MATLAB产生的Chirp信号波形：

^{▲ 由MATLAB产出的Chirp信号}

tend=0.2048
fs = 1e4
fstart=250
fend=2000
tdim = 0:1/fs:(tend-1/fs)
chirpdim=chirp(tdim,fstart,tend,fend)

^{▲ 由SCIPY产出的Chirp信号}

import scipy.signal
data = scipy.signal.chirp(tdim, fstart,t1, fend)

通过数值对比，可以看到上面三种方式得到的Chirp信号的误差为0。下图显示了公式所计算得到的Chirp信号与MATLAB所产生的Chirp信号的差值。其中微小的误差可能来源于MATLAB结果经过clipboard剪切板之后，数值显示精度降低所引起的。

另外一部分则可能是对于数据的的最后一点的频率微小差异的定义。

^{▲ 由公式得到的Chirp信号与MATLAB的结果差别}

Chirp信号离散生成算法

下面是智能车竞赛信号板单片机通过DAC输出Chirp信号对输出信号buffer进行初始化的程序。

//------------------------------------------------------------------------------
void InitDACBuffer(float fStartF, float fEndF) {
    float fAngle = 0;
    float fFrequency;
    float fDeltaT = 1.0 / DAC_OUTPUT_FREQUENCY;
    
    int i;
    for(i = 0; i < DAC_BUFFER; i ++) {        
        g_nDACBuffer[i] = (unsigned short)((sin(fAngle * 2 * 3.1415926) + 1.0) / 2 * 0x4ff)+0x100;
        fFrequency = (fEndF - fStartF) * (i + 1) / DAC_BUFFER + fStartF;
        fAngle += fFrequency * fDeltaT;
    }
}

在程序初始化期间调用如下命令：

    InitDACBuffer(250, 2000);

根据上面产生的程序，下面绘制出对应的波形：

^{▲ 通过离散迭代产生的Chirp信号}

DAC_BUFFER = 2048
dacbuf = []
angle = 0
deltat = 1/1e4

for i in range(0, DAC_BUFFER):
    data = cos(angle*2*pi)
    dacbuf.append(data)
    frequency = (fend - fstart) * (i + 1) / DAC_BUFFER + fstart
    angle = angle + frequency * deltat

plt.plot(tdim, dacbuf)
plt.xlabel('Time(s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.show()

对比由离散程序所产生的数据与前面通过公式计算出的波形，可以看到它们之间存在着差异。下面将公式所计算出的数值与前面程序所产生信号相加，所得到的误差信号：

^{▲ 公式产生的Chirp信号与程序产生的信号之间的误差}

使用程序产生Chirp信号的时候，信号的相位是通过离散积分而得到的，其中所出现的积分误差随着时间增加而叠加，最终使得所产生的信号的相位与实际的相位越来越大，信号的差别，也就增加了。

修改方案

将最终信号Chirp生成的公式修改为：

$t_n = n \cdot t_s = {n \over {f_s }} = n \cdot 10^{ - 4}$
$x\left[ n \right] = \sin \left[ {2\pi \cdot \left( {{{f_{end} - f_{start} } \over {t_1 }} \cdot {1 \over 2}t_n^2 + f_{start} \cdot t_n } \right)} \right]$

使用sin信号的目的，就是防止最初的信号开始的跳变。根据上面公式所产生的波形为：

^{▲ 最终定义的Chirp信号的波形}

生成12bit DAC转换对应的数据：

for i in range(DAC_BUFFER):
    tn = i / fs
    angle = (fend-fstart)/t1 * tn * tn / 2 + fstart * tn
    datasin = sin(2*pi*angle)

    dataint16 = int((datasin + 1.0) / 2 * 0x4ff + 0x100)
    dacbuf.append(dataint16)

信号波形为：

^{▲ 12bit对应的信号波形}

^{▲ 生成8bit DAC对应的波形}

^{▲ 生成7bit DAC对应的波形}

^{▲ 生成6bit DAC对应的波形}

生成相关的整型信号，便于MCU输出模拟信号：

#------------------------------------------------------------
fstart = 250
fend = 2000
t0 = 0
t1 = 0.2048
ts = 100e-6

tdim = linspace(t0, t1, int((t1-t0)/ts), endpoint=False)

#------------------------------------------------------------
DAC_BUFFER = 2048
dacbuf = []
fs = 1e4

for i in range(DAC_BUFFER):
    tn = i / fs
    angle = (fend-fstart)/t1 * tn * tn / 2 + fstart * tn
    datasin = sin(2*pi*angle)

    dataint16 = int((datasin + 1.0) / 2 * 0x3f)
    dacbuf.append(dataint16)

tspsave('chirp6bit', dacbuf=dacbuf)

下面是将NPZ数据转换成C51的变量的程序。

dacbuf0 = tspload('chirp8bit', 'dacbuf')
dacbuf1 = tspload('chirp7bit', 'dacbuf')
dacbuf2 = tspload('chirp6bit', 'dacbuf')

pastestr = 'unsigned char const code g_ucChirpData[] = {\r\n'
linenumber = 16
lines = int(len(dacbuf2) / linenumber)

for i in range(lines):
    linedata = 127 - dacbuf2[i * linenumber : (i + 1) * linenumber]

    datastr = str(linedata).strip('[]').split(' ')
    datastr1 = [s for s in datastr if len(s) > 0]
    linestr = ','.join(datastr1).lstrip(',') + ',\r\n'



    pastestr = pastestr + '    ' + linestr

pastestr = pastestr + '};\r\n'

clipboard.copy(pastestr)
printf(pastestr)