「LOJ 6308」「雅礼国庆 2017 Day1」Mod

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这道题居然让我想到了 $\mathrm{jury\_2}$ 的集训队论文，其实确实还是有异曲同工之妙的。

Solution

用线段树维护区间和以及区间最大值。

对于操作 $1$，直接 $Query$ 查询区间和；
对于操作 $2$，假设当前为区间为 $[l,r]$，若 $\max\{A_i|i \in [l,r]\} < x$，则直接返回，否则分别递归到左右儿子 $[l,mid][mid+1,r]$，直到 $l=r$，对 $x$ 取模后返回，更新区间；
对于操作 $3$，直接 $Updata$ 单点修改。

复杂度为 $O((m+n)\log n\log w)$，$w$ 为权值。

Proof

首先是操作 $1,3$，显然 $O(m \log n)$；

接着是操作 $2$，分析一下取模的性质：$i\ \mathrm{mod}\ x < \frac{i}{2}$，这个性质很显然。

于是对于数 $a_i$，我们最多将其修改 $O(\log a_i)$ 次，每次修改为 $O(\log n)$。
由于原数列有 $n$ 个数以及操作 $3$ 至多增加 $m$ 个数，所以总的复杂度为 $O((m+n)\log n\log w)$。

总的来说这还是一道不错的套路题。

#include <cstdio>
#define Max(_A, _B) (_A > _B ? _A : _B)
#define R register
const int MaxN = 100010;
int a[MaxN], B[1 << 18]; long long S[1 << 18];
void Build(R int node, R int begin, R int end)
{
    if(begin == end)
    {
        S[node] = B[node] = a[begin];
        return ;
    }
    R int mid = begin + end >> 1;
    Build(node << 1, begin, mid);
    Build(node << 1 | 1, mid + 1, end);
    S[node] = S[node << 1] + S[node << 1 | 1];
    B[node] = Max(B[node << 1], B[node << 1 | 1]);
}
long long Query(R int node, R int begin, R int end, R int l, R int r)
{
    if(l <= begin && end <= r) return S[node];
    R int mid = begin + end >> 1;
    R long long t1 = 0, t2 = 0;
    if(l <= mid) t1 = Query(node << 1, begin, mid, l, r);
    if(r > mid) t2 = Query(node << 1 | 1, mid + 1, end, l, r);
    return t1 + t2;
}
void Updata(R int node, R int begin, R int end, R int pos, R int val)
{
    if(begin == end)
    {
        S[node] = B[node] = val;
        return ;
    }
    R int mid = begin + end >> 1;
    if(pos <= mid) Updata(node << 1, begin, mid, pos, val);
    else Updata(node << 1 | 1, mid + 1, end, pos, val);
    S[node] = S[node << 1] + S[node << 1 | 1];
    B[node] = Max(B[node << 1], B[node << 1 | 1]);
}
void Modify(R int node, R int begin, R int end, R int l, R int r, R int val)
{
    if(B[node] < val) return ;
    if(l <= begin && end <= r)
    {
        if(begin == end) S[node] = B[node] = S[node] % val;
        else 
        {
            R int mid = begin + end >> 1;
            if(B[node << 1] >= val) Modify(node << 1, begin, mid, l, r, val);
            if(B[node << 1 | 1] >= val) Modify(node << 1 | 1, mid + 1, end, l, r, val);
            S[node] = S[node << 1] + S[node << 1 | 1];
            B[node] = Max(B[node << 1], B[node << 1 | 1]);
        }
        return ;
    }
    R int mid = begin + end >> 1;
    if(l <= mid) Modify(node << 1, begin, mid, l, r, val);
    if(r > mid) Modify(node << 1 | 1, mid + 1, end, l, r, val);
    S[node] = S[node << 1] + S[node << 1 | 1];
    B[node] = Max(B[node << 1], B[node << 1 | 1]);
}
int main()
{
    R int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(R int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    Build(1, 1, n);
    while(m--)
    {
        R int opt;
        scanf("%d", &opt);
        if(opt == 1)
        {
            R int l, r;
            scanf("%d %d", &l, &r);
            printf("%lld\n", Query(1, 1, n, l, r));
        }
        if(opt == 2)
        {
            R int l, r, x;
            scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
            Modify(1, 1, n, l, r, x);
        }
        if(opt == 3)
        {
            R int k, x;
            scanf("%d %d", &k, &x);
            Updata(1, 1, n, k, x);
        }
    }
    return 0;
}