集合选数

Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,…, n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,…, n}有多少个满足上述约束条件的子集。

Sample Input

Sample Output

HINT

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

Source

day2

这题的思路很神奇啊……
~~虽然不是太难想~~

思路:
考虑列出一张表格:

-	-	-	-	-
1	2	4	8	16
3	6	12	24	48
9	18	36	72	144

其中，每一个格子右边的值是它的值的 $2$ 倍，下面的值则是 $3$ 倍。
此时，题目等价于从表格中选一些数，满足选了某个数就不能选其下方和左边的数。
由于 $log_2n \leq 17,log_3n \leq 11$ ，这样的方案可以通过很简单的状压dp统计。

于是，对于左上角放上所有不被 $2$ 和 $3$ 整除的数，分别做状压dp并将方案乘起来，便能得到最终答案!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=100009;
const int M=19;
const int K=150000;
const ll md=1e9+1;

ll f[2][K];
bool vis[N];
int n,g[M][M],border[M];

inline ll work(int x)
{
    int h=0;

    for(int i=1,v=x;v<=n;i++,v*=2)
    {
        h=i;vis[v]=1;
        for(int j=1,vj=v;vj<=n;j++,vj*=3)
            border[h]=j,vis[vj]=1;
    }

    f[0][1]=0;
    f[0][0]=border[0]=border[h+1]=1;

    for(int i=1;i<=h+1;i++)
    {
        for(int k=0,ek=1<<border[i];k<ek;k++)
            f[i&1][k]=0;
        for(int j=0,ej=1<<border[i-1];j<ej;j++)
            if(f[i&1^1][j])
                for(int k=0,ek=1<<border[i];k<ek;k++)
                    if(!(j&k) && !(k&(k<<1)))
                        (f[i&1][k]+=f[i&1^1][j])%=md;
    }

    return f[h&1^1][0];
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
            (ans*=work(i))%=md;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

[BZOJ2734][HNOI2012]集合选数-状压DP