【数论】博士与钥匙

博士与钥匙

有\(n\)个持有若干把钥匙的人（每个人持有的钥匙数相同）和若干把锁，任选\(m\)个人可以打开所有的锁，但小于\(m\)个人就不能打开所有的锁，给定\(n,m\)，求至少要有多少把锁、每个人至少要配多少把钥匙。

数学题。

由于任选\(m\)个人可以打开所有的锁，而\(<=m-1\)个人不能打开所有的锁，不妨设无法打开的其中一把锁为\(L\)，那么可以推出，在选定这\(m-1\)个人之后，剩下的\(n-(m-1)\)个人都持有\(L\)的钥匙。从而，对于任意一把锁\(L\)，没有它的钥匙的人为\(m-1\)个。

由于任意\(m-1\)个人都不能打开所有的锁，那么锁的数目应为\(A=C_n^{m-1}\).

对于任意一把锁\(L\)，持有它钥匙的人为\(n-m+1\)个，由于是最少数目，所以\(L\)的钥匙总共只有\(n-m+1\)把，则\(n\)个人总共持有的钥匙数量为\(A\times(n-m+1)\)把，平均一下即得每个人持有的最少钥匙数\(B=\frac {A\times(n-m+1)}{n}\).

数据范围\(1\)到\(20\)，阶乘运算int会溢出，记得开long long。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL jc(int n) {
    LL res = 1;
    for (int i = 1;i <= n;i++) res = res * i;
    return res;
}

LL c(int n, int m) {
    return (jc(n)) / (jc(m) * jc(n - m));
}

int main()
{
    int n, m;
    while (cin>>n>>m) {
        LL L = c(n, m - 1);
        LL K = L * (n - m + 1) / n;
        cout << L << " " << K << endl;
    }
    return 0;
}