剑指offer学习笔记 圆圈中最后剩下的数字

面试题62：圆圈中最后剩下的数字。0、1、…、n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

本题就是约瑟夫环问题。

法一：用环形链表模拟圆圈，我们可以直接用标准库的list模拟环形链表，但标准库的list不是环形的，但我们可以在迭代器扫描到链表末尾时将该迭代器移动到链表头部，以此来模拟环形链表：

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

int LastRemaining(unsigned n, unsigned m) {
    if (n < 1 || m < 1) {
        return -1;
    }

    list<int> ilst;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ilst.push_back(i);
    }

    list<int>::iterator curr = ilst.begin();
    while (ilst.size() != 1) {
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            ++curr;
            if (curr == ilst.end()) {
                curr = ilst.begin();
            }
        }

        list<int>::iterator next = ilst.erase(curr);
        if (next == ilst.end()) {
            curr = ilst.begin();
        }
        else {
            curr = next;
        }
    }

    return *curr;
}
 
int main() {
    cout << LastRemaining(5, 3) << endl;
}

每删除一个数字需要m步，一共需要删除O（n）个元素，因此时间复杂度为O（mn），并且还需要O（n）的辅助空间。

法二：首先定义一个方程f(n,m)表示在0~n-1这n个数字中删除第m个数字最后剩下的数字。第一个删除的数字是下标为(m-1)%n的数字，将其记为k，之后，剩下k+1~n-1和0~k-1，删除一个数字之后的序列与最开始的数列最后剩下的数字是一样的，我们把删除一个数字之后的序列记为f1(n-1,m)，则有f(n,m)=f1(n-1,m)。

我们把剩下的n-1个数字序列重新排序，其结果为：

之后再从序列中删除下标为(m-1)%n的元素，n为当前序列的总数。这样循环的边界条件应该是序列中只剩下最后一个数字，此时，f(1,m)=0，即当只有一个数字时，最后一个出列的数字是它本身，即下标为0的元素。

现在考虑倒数第二个出列的数字，它应该位于倒数第一个出列的数字位置x之后的m个位置，即f(2,m)=f(1)+m，但这个位置可能超出了序列长度，又因为序列是环形的，因此f(2)=(f(1)+m)%2，于是我们得到递推公式：f(n,m)=(f(n-1,m)+m)%n，n>1，当n=1时，f为0：

#include <iostream>
using namespace std;

int LastRemaining(int n, int m) {
	if (n < 1 || m < 1) {
		return -1;
	}

	int res = 0;
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		res = (res + m) % i;
	}

	return res;
}

int main() {
	cout << LastRemaining(5, 3) << endl;
}

这种方法的时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（1）。