AVLtree是一个 “加了额外平衡条件” 的二叉搜索树， 相对于二叉树搜索树而言， 在设计的时候可以说是节点信息添加了平衡因子（也就是个int变量）这个概念。
我们在设计节点信息类的时候，里面的成员变量有左孩子指针、有孩子指针、存储的值（value）， 再添加一个平衡因子(bq， bq是int类型)和父亲指针。
1、为什么添加平衡因子呢？ 并且和二叉搜索树有什么关联呢？
答：我们都知道二叉搜索树的概念和特性（前提：这块不懂二叉搜索树可以看以前我写的一篇二叉搜索树文章）， 它有一个致命的缺点，就是在构建的时候不正规的插入数据， 会导致树本身的高度n很大，（举例从1到9顺序插入，每个节点只有右孩子无左孩子，就像链表一样）。 而时间效率O(logn)就是跟高度n有关， 因此AVLtree添加平衡因子就是为了解决高度n不合理的问题， 从而提升树一些查找、插入、删除接口的效率。
2、平衡因子
1、平衡因子的计数方式为 = 该节点右子树的高度 - 该节点左子树的高度
2、合理的树每个节点平衡因子的取值应为-1、0、1三种，如果出现不同的取值（2、-2），需要进行调整操作（下面说）
AVLtree部分接口实现
a、定义节点信息
//定义AVLtree树节点信息
template<class T>
struct Node {
Node(T val = 0)
:_value(val)
,_bq(0)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
{
}
struct Node<T>* _left;
struct Node<T>* _right;
struct Node<T>* _parent;
T _value;
int _bq;
};
b、查找接口
查找和二叉搜索树的方式一样， 这块不做介绍！
AVLNode Find_Node(const T& value) {
if (!_root) {
return nullptr;
}
AVLNode cur = _root;
while (cur) {
//找到了
if (cur->_value == value)
return cur;
//查找的值大于 < cur节点的值，往左边走
if (cur->_value > value)
cur = cur->_left;
else //往右边走
cur = cur->_right;
}
//cur == nullptr, 没有找到
return nullptr;
}
c、插入接口
1、重复， 先找到合适的插入位置，如果发现重复， 和二叉搜索树一样， 不支持值重复， 返回false
2、不重复， 先找到合适的插入位置， 进行插入、 插入完毕之后需要更新平衡因子（更新平衡因子下面重点讲）。
3、 树为空， 插入完毕之后， 更新头节点。
以上第二种情况插入没什么说的， 关键在于更新平衡因子，而更新平衡因子答题可以分为3类
1> 第一种情况
满足条件： parent->bq由(-1->0) 或 (1->0)
满足条件：parent->bq从（0->1）或 (0->-1)
2> 第二种情况
a、左旋一次
满足左旋的条件为：parent->_bq == 2 并且 cur->_bq == 1;
而且左旋完毕之后一定会满足parent->_bq == 0, cur->_bq == 0, 这是固定的， 左旋完成之后是不需要更新往上更新的！
ps: 如果parent节点是头节点， 左旋完成之后需要更新头节点信息。 这个简单，重点在于旋转。(所以请参考代码)
对比未插入节点， 插入后左旋后， 整体的高度不会发生改变， 大家可以看图得出。
b、右旋一次
右旋的条件： parent->_bq == -2 并且 cur->_bq == -1;
右旋只是操作改变， 特性和特点和左旋一样。 这块不做重点， 参考左旋理解。 右旋之后parent->_bq == cur->_bq == 0;
右旋之后也会满足parent->_bq == cur->_bq == 0, 停止往上更新。
ps: 如果parent节点是头节点， 右旋完成之后需要更新头节点信息。 这个简单，重点在于旋转。(所以请参考代码)
3>第三种情况
第三种情况为双旋， 分为左右双旋和右左双旋*。
1、左右双旋（先左旋后右旋）。 条件： parent->bq == 2 并且 cur->_bq == -1
1、右左双旋（先右旋后左旋）。 条件： parent->bq == -2 并且 cur->_bq == 1
如果parent节点是头节点， 双旋完成之后需要更新头节点信息。 这个简单，重点在于旋转。(所以请参考代码)
a、先看左右双旋
if(cur_left->_bq == -1)
if(cur_left->_bq == 1)
b、右左双旋
右左双旋： 先以cur右旋， 再以parent左旋。 旋转之后parent、cur节点的bq值大家可以手动画一下得出结论。我就不再画图解释。
if(cur_right->_bq == -1), parent->_bq == 1;cur->_bq == 0;
if(cur_right->_bq == 1), parent->_bq == 0;cur->_bq == -1;
ps: 我喜欢用 ‘==’ 符号代表等于， ‘=’ 代表赋值， 在文本中写也是的。
以上就是插入接口的全部分类！
//左旋操作函数
void Rotate_Left(AVLNode& parent) {
AVLNode SubR = parent->_right;
AVLNode SubRL = SubR->_left;
SubR->_left = parent;
parent->_right = SubRL;
AVLNode pp = parent->_parent;
if (pp) { //parent不是头节点
if (pp->_left = parent)
pp->_left = SubR;
else
pp->_right = SubR;
}
else { //parent是头节点
_root = SubR;
}
SubR->_parent = pp;
if(SubRL)
SubRL->_parent = parent;
parent->_parent = SubR;
SubR->_bq = parent->_bq = 0;
}
//右旋操作函数
void Rotate_Right(AVLNode& parent) {
AVLNode SubL = parent->_left;
AVLNode SubLR = SubL->_right;
SubL->_right = parent;
parent->_left = SubLR;
AVLNode pp = parent->_parent;
if (pp) { //parent不是头节点
if (pp->_left = parent)
pp->_left = SubL;
else
pp->_right = SubL;
}
else { //parent是头节点
_root = SubL;
}
SubL->_parent = pp;
if(SubLR)
SubLR->_parent = parent;
parent->_parent = SubL;
SubL->_bq = parent->_bq = 0;
}
//插入接口
bool Insert_Node(const T& value) {
if (!_root) {
_root = new AVNode(value);
return true;
}
AVLNode cur = _root;
AVLNode parent = nullptr;
while (cur) {
parent = cur;
if (cur->_value == value)
return false;
if (cur->_value > value)
cur = cur->_left;
else
cur = cur->_right;
}
cur = new AVNode(value); //创建一个节点
if (parent->_value > value)
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent) {
if (parent->_left == cur)
parent->_bq--;
else
parent->_bq++;
if (parent->_bq == 0)
break;
else if (abs(parent->_bq) == 1) {
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if ((parent->_bq == 2) && (cur->_bq == 1)) {
//单旋 - 左旋操作
Rotate_Left(parent);
break;
}
else if ( (parent->_bq == -2) && (cur->_bq == -1) ) {
//单旋 - 右旋操作
Rotate_Right(parent);
break;
}
else if ( (parent->_bq == 2) && (cur->_bq == -1) ) {
//左右双旋
AVLNode SubR = cur;
AVLNode SubRL = SubR->_left;
int bq = SubRL->_bq;
Rotate_Left(cur);
Rotate_Right(parent);
if (-1 == bq) {
parent->_bq = 0;
SubR->_bq = 1;
}
else if (1 == bq) {
parent->_bq = -1;
SubR->_bq = 0;
}
break;
}
else if ( (parent->_bq == -2) && (cur->_bq == 1)) {
//右左双旋
AVLNode SubL = cur;
AVLNode SubLR = cur->_right;
int bq = SubLR->_bq;
Rotate_Right(cur);
Rotate_Left(parent);
if (-1 == bq) {
parent->_bq = 1;
SubL->_bq = 0;
}
else if (1 == bq) {
parent->_bq = 0;
SubL->_bq = -1;
}
break;
}
else {
return false;
}
}
return true;
}
d、求节点深度n接口
int Tree_Depth(const AVLNode& root) {
if (!root) {
return 0;
}
int left = Tree_Depth(root->_left);
int right = Tree_Depth(root->_right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}
e、遍历接口
和二叉搜索树一样，采用中序遍历就可得到有序数列。
void _Inorder(const AVLNode& root) {
if (!_root)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_value << " ";
_Inorder(root->_right);
}
以上就是AVLtree接口的信息， 当然还有个删除接口，大家可以自己去写， 删除一个节点需要考虑一些信息（是否对往上的节点的平衡因子产生影响？ 什么条件会产生影响？ 产生了影响又该如何处理？） 大家可以思考一下， 借鉴插入接口思考。 总结而言：AVLtree算法的难度在于插入、删除后更新平衡因子。
相对于二叉搜索树而言， 我们可以显著的发现它的优化和效率提升很好。 对于不正规的插入数据也可以保证很高效率。
就是这些！
