面试题14- I. 剪绳子（343. 整数拆分）（Java）（动态规划迭代）（思维）

1 题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

2 Java

2.1 方法一（最优子问题，无一般性）

将n分隔为2~n-1份，最大值将从中产生，且对于分隔为i份，最大值是将i份平均分隔

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int ans = 1;

        // 将n分隔为2~n-1份，最大值将从中产生，且对于分隔为i份，最大值是将i份平均分隔
        for(int i = 2; i < n; i++){
            // 尽力将n平均分割成i份
            int[] arr = new int[i];
            int big = n - n / i * i;
            for(int k = 0; k < i; k++){
                if(big-- > 0) arr[k] = n / i + 1;
                else    arr[k] = n / i;
            }
            // 计算分隔成i份的最大乘积
            int temp = 1;
            for(int a: arr) temp *= a;
            ans = Math.max(ans, temp);
        }

        return ans;
    }
}

2.2 方法二（特解）

尽可能的拆成3，这样比较大，若余下4，拆成2+2

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 特殊情况
        if(n <= 3) return n - 1;

        // a是n中可拆出最多a个3,；b是n除3的余数
        int a = n / 3, b = n % 3;
        // 若正好整除
        if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);
        // 若余1；把一个3拿出来和余下的1拆为两个2
        if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;
        // 若余2；
        return (int)Math.pow(3, a) * 2;
    }
}

2.3 方法三（动态规划迭代）

dp[n]代表n可被分隔后的最大乘积，状态转移方程是
dp[n] = Math.max(dp[n], dp[j] * dp[n - j]);
其中j∈[2, n-1)

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n < 4)   return n - 1;

        // 创建备忘录
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 3;
        // 向前步进；dp[n]代表n可被分隔后的最大乘积
        for(int i = 4; i <= n; i++){
            for(int j = 2; j < i; j++)  dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * dp[i - j]);
        }

        return dp[n];
    }
}

优化
最小拆分成2就行，没必要1，j也无需拆到n-2，对称的，拆到2 ~ n-2的中间就行

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;

        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;  dp[1] = 1;  dp[2] = 2;  dp[3] = 3;
        // 0123都已赋值
        for(int i = 4; i <= n; i++){
            // 最小拆分成2就行，没必要1，j也无需拆到n-2，对称的，拆到2~n-2的中间就行
            for(int j = 2; j <= i / 2; j++)  dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * dp[i - j]);
        }

        return dp[n];
    }
}