直方图处理（Histogram Processing）

直方图处理（Histogram Processing）

---

R.C. Gonzalez, Digital Image Processint (4th Edition), Sec. 3.3 Histogram Processing

---

1 直方图

令 $r_{k}, k = 0, 1, 2, \dots, L - 1$表示 $L$阶（level）数字图像（an $L$-level digital image） $f(x, y)$的亮度（intensity），则 $f$的非归一化直方图（unnormalized histogram）定义为：

$h(r_{k}) = n_{k}, ~ \text{for } k = 1, 2, \dots, L - 1 \tag {3-6}$

其中， $n_{k}$为 $f$中亮度为 $r_{k}$的像素（pixel）数量；亮度划分点（subdivisions of the intensity scale）称为直方图统计堆（histogram bins）。直方图（normalized histogram、histograms、image histograms）：

$p(r_{k}) = \frac{h(r_{k})}{MN} = \frac{n_{k}}{MN} \tag {3-7}$

其中， $M$、 $N$分别为图像的长、宽。

$\sum_{k} p(r_{k}) = 1$

2 直方图均衡（Histogram Equalization）

假设亮度 $r \in [0, L - 1]$， $r = 0$表示黑色（black）； $r = L - 1$表示白色（white）。给定变换（transformation） $T$（映射，intensity mappings），

$s = T(r) \quad 0 \leq r \leq L - 1 \tag {3-8}$

在区间 $0 \leq r \leq L - 1$上，假设 $T$满足：

1. $T$为单调递增函数（monotonic increasing function）

2. $0 \leq T(r) \leq L - 1$

若求逆变换（inverse transformation）

$r = T^{-1}(s) \quad 0 \leq s \leq L - 1 \tag {3-9}$

则 $T$必需为严格单调递增函数（strictly monotonic increasing function），以满足 $r$与 $s$间一一对应（one-to-one）的关系。

$p_{r}(r)$、 $p_{s}(s)$分别表示亮度 $r$、 $s$的概率密度函数（PDF）。由概率论（probability theory）可知，给定 $p_{r}(r)$、 $T(r)$，且 $T(r)$连续可微，则 $s$的PDF为：

$p_{s}(s) = p_{r}(r) \left| \frac{d r}{d s} \right| \tag {3-10}$

图像处理中的重要变换方程（transformation function）：

$s = T(r) = (L - 1) \int_{0}^{r} p_{r}(w) dw \tag {3-11}$

方程右端为随机变量 $r$的累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）。易知，方程（3-11）同时满足条件（1）、（2）。根据莱布尼茨法则（Leibniz’s rule: the derivative of a definite integral with respect to its upper limit is the integrand evaluated at the limit），

$\begin{aligned} \frac{ds}{dr} & = \frac{d T(r)}{dr} \\ & = (L - 1) \frac{d}{dr} \int_{0}^{r} p_{r}(w) dw \\ & = (L - 1) p_{r}(r) \end{aligned} \tag {3-12}$

将方程（3-12）代入方程（3-10），

$\begin{aligned} p_{s}(s) & = p_{r}(r) \left| \frac{d r}{d s} \right| \\ & = p_{r}(r) \left| \frac{1}{(L - 1) p_{r}(r)} \right| \\ & = \frac{1}{(L - 1)} \end{aligned}, \quad 0 \leq s \leq L - 1 \tag {3-13}$

即 $p_{s}(s)$服从均匀分布（uniform probability density function）

对于离散值（discrete values），

$P_{r}(r_{k}) = \frac{n_{k}}{MN} \tag {3-14}$

$s_{k} = T(r_{k}) = (L - 1) \sum_{j = 0}^{k} P_{r}(r_{j}), ~ k = 0, 1, \dots, L - 1 \tag {3-15}$

3 直方图匹配（Histogram Matching、Histogram Specification）

给定输入图像，其亮度（intensity level）为 $r$、PDF为 $p_{r}(r)$。输出图像亮度、期望PDF分别记为 $z$（给定）、 $p_{z}(z)$，

$s = T(r) = (L - 1) \int_{0}^{r} p_{r}(w) dw \tag {3-17}$

定义函数 $G$

$G(z) = (L - 1) \int_{0}^{z} p_{z}(v) dv = s \tag {3-18}$

则变量 $z$必需满足： $G(z) = s = T(r)$，即

$z = G^{-1}(s) = G^{-1}[T(r)] \tag {3-19}$

直方图匹配过程

1. 给定输入图像，计算 $p_{r}(r)$；

2. 给定 $p_{z}(z)$，计算 $G(z)$；

3. 计算逆变换 $z = G^{-1}(s)$

4. 由方程（3-17）得到 $s$，并计算 $z = G^{-1}(s)$。

对于离散值（discrete values），

$s_{k} = T(r_{k}) = (L - 1) \sum_{j = 0}^{k} P_{r}(r_{j}), ~ k = 0, 1, \dots, L - 1 \tag {3-20}$

$G(z_{q}) = (L - 1) \sum_{i = 0}^{q} P_{z}(z_{i}) \tag {3-21}$

$G(z_{q}) = s_{k} \tag {3-22}$

$z_{q} = G^{-1}(s_{k}) \tag {3-23}$

实际应用中，无需计算 $G^{-1}$。由于 $z \in [0, L - 1] \cap \Z$，计算 $G$的所有可能值并将结果存储于查找表中；然后给定一特定值，在表中查找最近匹配。通常 $z_{q} = q$。

离散直方图匹配过程

给定输入图像及待匹配直方图 $p_{z}(z_{i}), i = 0, 1, \dots, L - 1$，

1. 计算输入图像的直方图 $P_{r}(r)$，并代入方程（3-20），即将输入图像亮度映射为直方图均衡（histogram-equalized image）亮度。将结果 $s_{k}$舍入到整数区间 $[0, L - 1]$（round the resulting values）；

2. 根据方程（3-21）计算 $G(z_{q})$，并将结果舍入到整数区间 $[0, L - 1]$，存入查找表（a lookup table）；

3. 根据查找表，为每个 $s_{k}$分配一个 $z_{q}$，使得 $G(z_{q})$与 $s_{k}$最近，保存 $s$到 $z$的映射。若存在多对一情况，则保留最小值；

4. 将 $s_{k}$映射到 $z_{q}$即可得到直方图匹配输出图像。

# given p_r(r_k) in table 3.1 and specified histogram p_z(z_q),
# calculate the histogram matching

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L = 8
x = np.linspace(start=0, stop=L - 1, num=L)
p_r = np.asarray([0.19, 0.25, 0.21, 0.16, 0.08, 0.06, 0.03, 0.02])
p_z = np.asarray([0.0, 0.0, 0.0, 0.15, 0.20, 0.30, 0.20, 0.15])

T_r = np.round(np.cumsum(a=p_r) * (L - 1)).astype(np.uint8)
print("s_k: {}".format(T_r))
G_z = np.round(np.cumsum(a=p_z) * (L - 1)).astype(np.uint8)
print("G_z: {}".format(G_z))

p_s = np.zeros(shape=(L, ))
for idx in range(L):
    p_s[idx] = np.sum(p_r[T_r == idx])

G_z_inv = {}
for s_k in T_r:
    G_z_inv[s_k] = np.argmin(np.abs(G_z - s_k))

print("mapping s_k -> z_q: {}".format(G_z_inv))

p_z_matched = np.zeros(shape=(L, ))
for idx in range(L):
    if G_z_inv.get(idx):
        p_z_matched[G_z_inv.get(idx)] += p_s[idx]


fig = plt.figure(figsize=(10, 16))

ax = fig.add_subplot(3, 2, 1)
ax.bar(x, p_r)
ax.set_xlabel("$r_{k}$")
ax.set_ylabel("$p_{r}(r_{k})$")

ax = fig.add_subplot(3, 2, 2)
ax.bar(x, p_z)
ax.set_xlabel("$z_{q}$")
ax.set_ylabel("$p_{z}(z_{q})$")

ax = fig.add_subplot(3, 2, 3)
ax.bar(x, T_r)
ax.set_title("$T(r)$")
ax.set_xlabel("$r_{k}$")
ax.set_ylabel("$s_{k}$")

ax = fig.add_subplot(3, 2, 4)
ax.bar(x, p_s)
ax.set_xlabel("$s_{k}$")
ax.set_ylabel("$p_{s}(s_{k})$")

ax = fig.add_subplot(3, 2, 5)
ax.bar(x, G_z)
ax.set_title("$G_{z}$")
ax.set_xlabel("$z_{q}$")
ax.set_ylabel("$s_{k}$")

ax = fig.add_subplot(3, 2, 6)
ax.bar(x, p_z_matched)
ax.set_xlabel("$z_{q}$")
ax.set_ylabel("$p_{z}(z_{q})$")

plt.show()

s_k: [1 3 5 6 6 7 7 7]
G_z: [0 0 0 1 2 5 6 7]
mapping s_k -> z_q: {1: 3, 3: 4, 5: 5, 6: 6, 7: 7}