动态规化 - 斐波纳契级数

动态规化 - 斐波纳契级数

动态规划（dynamic programming，DP）：高效求解递归问题。

递归问题通常需要多次重复求解子问题（subproblem），动态规划通过保存子问题的解（记忆，memoization）降低计算时间复杂度。

• 递归（recursion）：递归求解子问题

• 记忆（memoization）：保存子问题解

斐波纳契级数（Fibonacci Series）：

$\text{Fibonacchi}(N) = \begin{cases} 0, & \text{for } n = 0 \\ 1, & \text{for } n = 1 \\ \text{Fibonacchi}(N - 1) + \text{Fibonacchi}(N - 2), & \text{for } n > 1 \\ \end{cases}$

1 递归

计算时间复杂度： $T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1 = 2^{n} = \mathcal{O}(2^{n})$

def fibonacci_recur(n):
    """
    fibonacci series - recursion
    """
    
    if n == 0:
        return 0
    
    if n == 1:
        return 1
    
    return fibonacci_recur(n - 1) + fibonacci_recur(n - 2)
    

fibonacci_recur(8)

21

2 动态规化

时间复杂度（Time Complexity）： $\mathcal{O} (n)$；空间复杂度（Space Complexity）： $\mathcal{O} (n)$

动态规化求解所需条件：

1. 重复子问题（Overlapping Sub-problems）：动态规划中，子问题只求解一次，并将其保存以备将来使用；

2. 最优子结构（Optimal Substructure）：如果一个问题可以通过子问题求解，则该问题具有最优子结构。

动态规划方法（Dynamic Programming Approaches）：

• 自下而上（Bottom-Up）：假设问题输入为 $N$，从最小可能输入开始求解并保存该解；

• 自下而上（Top-Down）：将问题分解为子问题，按需求解并将解保存。

import numpy as np

def fibonacci_dp(n):
    """
    fibonacci series - dynamic programming (bottom-up)
    """
    
    fibs = np.zeros(shape=(n, ))
    fibs[0] = 1
    fibs[1] = 1
    for idx in range(2, n):
        fibs[idx] = fibs[idx - 1] + fibs[idx - 2]
        
    return fibs[-1]

fibonacci_dp(8)

21.0