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上一小节：推荐系统学习笔记之三——（基于邻域的）协同过滤算法的公式化、标准化

上一小节我们跳过了用户之间、物品之间相似度计算的方法，在这一小节，我们详细叙述常见常用的集中相似度计算方法以及相似度用户（物品）权重的重要性。

目录： 1、相似度

---（1）、cosine（余弦相似度）

---（2）、Pearson Correlation（皮尔逊相关系数）

---（3）、Adjusted Cosine（改良的余弦相似度）

---（4）、Spearman Rank Correlation（斯皮尔曼等级关联）

2、权重的重要性

相似度

ML/DM领域常常用到距离和相似度的概念，在kmeans等聚类算法中，一般都是使用曼哈顿距离、欧氏距离等距离公式，这里我们要了解的是另一种——相似度。

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区分一下距离和相似度，在一个高维空间，两个点之间的距离就是距离。而两个向量是否平行、夹角多少，这就是相似度。

1、cosine（余弦相似度）

我们高中的时候都学过余弦公式： $cos(x_a,x_b) =\frac{x_a^Tx_b}{||x_a|| ||x_b||}$ 。

并且知道它的意义：它不在乎两个向量之间的距离，只在乎两个向量之间的角度，角度越小值越大，相似度越高。

在协同过滤中，它被用来计算用户的相似度：

$CV(u,v)=cos(x_v,x_u)=\frac{\sum _{i\in J_{uv}}r_{ui}r_{vi}}{\sqrt{\sum_{i\in J_u r_{ui}^2} \sum_{j\in J_v r_{vj}^2})}}$

然而在这种情况下存在一个问题，它没有考虑用户u和v的评分均值以及方差之间的差异（也就是我们前一小节的标准化）

于是Pearson Correlation出场了。

2、Pearson Correlation（皮尔逊系数）

基于用户的PC值计算用户u和v之间的相似度， $r_u^-$ 依然代表用户u的所有评分的平均分：

$PC(u,v)=\frac{\sum _{i\in J_{uv}}(r_{ui}-r_u^-)(r_{vi}-r_v^-)}{\sqrt{\sum_{i\in J_{uv} (r_{ui}-r_u^-)^2} \sum_{j\in J_{uv} (r_{vj}-r_v^-)^2})}}$

同样的，物品i和j之间的相似度计算：

$PC(i,j)=\frac{\sum _{u\in U_{ij}}(r_{ui}-r_i^-)(r_{uj}-r_j^-)}{\sqrt{\sum_{u\in U_{ij} (r_{ui}-r_i^-)^2} \sum_{u\in U_{ij} (r_{uj}-r_j^-)^2})}}$

3、Adjusted Cosine（改良的余弦相似度）

在一些基于物品的例子中，用户间评分的方差明显要大于物品间评分的方差，而PC（i，j）更关注于物品间的方差，这时候我们使用更关注用户间方差的Adjusted Cosine能够取得更好的效果。

$AC(i,j)=\frac{\sum _{u\in U_{ij}}(r_{ui}-r_u^-)(r_{uj}-r_u^-)}{\sqrt{\sum_{u\in U_{ij} (r_{ui}-r_u^-)^2} \sum_{u\in U_{ij} (r_{uj}-r_u^-)^2})}}$

4、Spearman Rank Correlation（斯皮尔曼等级关联）

SRC与PC直接使用评分值来计算不同，它是根据这些评分的排名来进行相似度计算的。

设 $k_{ui}$ 为物品i在用户u的所有评分物品中的排名（评分重复的取中间值），以用户相似度为例：

$SRC(u,v)=\frac{\sum _{i\in J_{uv}}(k_{ui}-k_u^-)(k_{vi}-k_v^-)}{\sqrt{\sum_{i\in J_{uv} (k_{ui}-k_u^-)^2} \sum_{j\in J_{uv} (k_{vj}-k_v^-)^2})}}$ ，

公式体现上唯一的区别，就是k代替了r。一般SRC的效果不如PC。

权重的重要性

当用于计算相似度的评分数据比较少的时候，相似度的精准度就会降低，这是显而易见的事情。

所以我们提出权重：当只有少量评分用于计算时，就会降低相似度重要性的权重。

给出公式： $w_{uv}^{'} =\frac{min(|J_{uv}|,\gamma )}{\gamma} * w_{uv}$

gamma是个超参数，gamma越大，代表要求评分矩阵越宽越稠密。

在文献中发现，一般gamma>=25会显著得提高预测评分的准确性，到50的时候可能得到最好的结果。当然，具体问题需要交叉验证来确定这个最优参数。

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推荐系统学习笔记之四——相似度计算以及权重的重要性

相似度

1、cosine（余弦相似度）

2、Pearson Correlation（皮尔逊系数）

3、Adjusted Cosine（改良的余弦相似度）

4、Spearman Rank Correlation（斯皮尔曼等级关联）

权重的重要性

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