2018湘潭校赛 G-又见斐波那契 （ 矩阵快速幂/暴力

又见斐波那契

题目描述

这是一个加强版的斐波那契数列。
给定递推式
求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对109+7取模。

输入

第一行是一个整数T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示样例的个数。
以后每个样例一行，是一个整数n(1 ≤ n ≤ 1018)。

输出

每个样例输出一行，一个整数，表示F(n) mod 1000000007。

样例

输入
4
1
2
3
100
输出
1
16
57
558616258

题意

很裸的矩阵快速幂 当然我们也可以直接暴力前20项上dls的BM模板
矩阵

$$\left[ \begin{matrix} 1&1&1&1&1&1 \\ 1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&1&3&3&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \tag{6}$$

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL long long
#define CLR(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))

const int MAXM = 1e3+10;
const int MAXN = 1e6+10;
const int mod = 1e9+7;
LL n;
struct node
{
    LL mm[6][6];
};
node mul(node x, node y)
{
    node ans;
    CLR(ans.mm,0);
    for(int i = 0; i < 6; i++) {
        for(int j = 0; j < 6; j++) {
            for(int k = 0; k < 6; k++) {
                ans.mm[i][j] = (ans.mm[i][j]+(x.mm[i][k]*y.mm[k][j]+mod)%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}

node pow_mod(node x, LL u)
{
    node ans;
    CLR(ans.mm,0);
    for(int i = 0;i < 6; i++) {
        for(int j = 0; j < 6; j++) if(i == j) ans.mm[i][j] = 1;
    }
    while(u) {
        if(u&1) ans = mul(ans,x);
        x = mul(x,x);
        u >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    node a;
    memset(a.mm,0,sizeof(a.mm));
    a.mm[0][0] = a.mm[0][1] = a.mm[0][2] = a.mm[0][3] = a.mm[0][4] = a.mm[0][5] = a.mm[1][0] = 1;
    a.mm[2][2] = a.mm[2][5] = a.mm[3][3] = a.mm[3][5] = a.mm[4][4] = a.mm[4][5] = a.mm[5][5] = 1;
    a.mm[2][3] = a.mm[2][4] = 3;
    a.mm[3][4] = 2;

    while(T--) {
        cin >> n;
        node aa = pow_mod(a, n-1);
        LL xx = aa.mm[0][0] + aa.mm[0][2]*8+aa.mm[0][3]*4+aa.mm[0][4]*2+aa.mm[0][5];
        cout << xx%mod << endl;

    }
return 0;
}

暴力枚举代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cassert>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const ll mod=1000000007;
ll powmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=mod; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
// head

int _;
ll n;
namespace linear_seq {
    const int N=10010;
    ll res[N],base[N],_c[N],_md[N];

    vector<int> Md;
    void mul(ll *a,ll *b,int k) {
        rep(i,0,k+k) _c[i]=0;
        rep(i,0,k) if (a[i]) rep(j,0,k) _c[i+j]=(_c[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
        for (int i=k+k-1;i>=k;i--) if (_c[i])
            rep(j,0,SZ(Md)) _c[i-k+Md[j]]=(_c[i-k+Md[j]]-_c[i]*_md[Md[j]])%mod;
        rep(i,0,k) a[i]=_c[i];
    }
    int solve(ll n,VI a,VI b) { // a 系数 b 初值 b[n+1]=a[0]*b[n]+...
        //        printf("%d\n",SZ(b));
        ll ans=0,pnt=0;
        int k=SZ(a);
        assert(SZ(a)==SZ(b));
        rep(i,0,k) _md[k-1-i]=-a[i];_md[k]=1;
        Md.clear();
        rep(i,0,k) if (_md[i]!=0) Md.push_back(i);
        rep(i,0,k) res[i]=base[i]=0;
        res[0]=1;
        while ((1ll<<pnt)<=n) pnt++;
        for (int p=pnt;p>=0;p--) {
            mul(res,res,k);
            if ((n>>p)&1) {
                for (int i=k-1;i>=0;i--) res[i+1]=res[i];res[0]=0;
                rep(j,0,SZ(Md)) res[Md[j]]=(res[Md[j]]-res[k]*_md[Md[j]])%mod;
            }
        }
        rep(i,0,k) ans=(ans+res[i]*b[i])%mod;
        if (ans<0) ans+=mod;
        return ans;
    }
    VI BM(VI s) {
        VI C(1,1),B(1,1);
        int L=0,m=1,b=1;
        rep(n,0,SZ(s)) {
            ll d=0;
            rep(i,0,L+1) d=(d+(ll)C[i]*s[n-i])%mod;
            if (d==0) ++m;
            else if (2*L<=n) {
                VI T=C;
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                L=n+1-L; B=T; b=d; m=1;
            } else {
                ll c=mod-d*powmod(b,mod-2)%mod;
                while (SZ(C)<SZ(B)+m) C.pb(0);
                rep(i,0,SZ(B)) C[i+m]=(C[i+m]+c*B[i])%mod;
                ++m;
            }
        }
        return C;
    }
    int gao(VI a,ll n) {
        VI c=BM(a);
        c.erase(c.begin());
        rep(i,0,SZ(c)) c[i]=(mod-c[i])%mod;
        return solve(n,c,VI(a.begin(),a.begin()+SZ(c)));
    }
};

int main() {
    for (scanf("%d",&_);_;_--) {
        scanf("%lld",&n);
        printf("%d\n",linear_seq::gao(VI{0,1,16,57,158,371,788,1559,2932,5311,9354,16129,27368,45877,76200,125693,206262,337175},n));
    }
}