[Dijkstra贪心思想妙用]真实笔试题：传送门

* @description: 西西所在的国家有N座城市，每座城市有一道传送门，城市i的传送门通往城市a[i]
*               当西西位于城市i时，每次他可以执行以下三种操作中的一种：
*                   花费A的费用，从城市i前往城市a[i]；
*                   如果a[i]>1，可以花费B的费用，将a[i]的值减少1；
*                   如果a[i]<N，可以花费C的费用，将a[i]的值增加1。
*               现在，西西想从城市1前往城市N，那么他至少花费多少费用？
*
*               输入：
*               第一行输入四个整数 N、A、B、C(1<=N<=10000,1<=A,B,C<=100000)
*               第二行输入N个整数，a[1]到a[N](1<=a[i]<=N)
*
*               输出：
*               输出一个整数，表示从城市1前往城市N所花费的最少费用
*
*               样例输入
*               7 1 1 1
*               3 6 4 3 4 5 6
*
*               样例输出
*               4
*
*               样例解释：
*               将a[1]减少1，此时a[1]=2；
*               从城市1前往城市2；
*               将a[2]增加1，此时a[2]=7;
*               从城市2前往城市7

这题拿到手第一反应是dp，但在列了一下例子之后，发现了其中的规律，做着做着发现跟Dijkstra的贪心思想竟然几乎完全吻合。

首先定义一个shortest[]数组，shortest[i]表示城市i到城市N的最小花费。并维护一个OPEN集合和CLOSE集合，记录还未确定最小花费的城市和已经确定的城市。

以样例为例，首先shortest[N] = 0，将N加入CLOSE，其他全在OPEN集合中，并计算每一个城市通过自增或自减操作+移动，到达N的花费

7 1 1 1
3 6 4 3 4 5 6

shortest = [4C+A，C+A，3C+A，4C+A，3C+A，2C+A，0]

从中选择一个或多个在OPEN集合中，并且shortest值最小的城市，此时这个值，就是最终的shortest的值。

这是一个很关键的结论，Dijkstra的关键思想也是在每一轮求出一个节点的最短路径时，就把求得的最短路径当作最终的最短路径。

在这题中，可以通过反证来想一想，记当前shortest值最小的城市为城市i，如果这个节点当前的值不是最终的值，那么城市i一定要先移动到其他城市，再移动到城市N，那么由于其他城市的shortest的值均大于他，且移动一次的花费是A。假设城市i通过移动到城市j再移动到城市N，那么花费为A+shortest[j]，由于shortest[j] >= shortest[i]，且A>0，那么A+shortest[j]一定大于shortest[i]，也就是说当前的shortest[i]一定是最优值。

那么理解了这一步，一切就很容易了，将当前shortest值最小的城市，加入到CLOSE表里，当作下一轮的中间节点。

我在这里稍微优化了一下，每一次更新CLOSE表的时候，将CLOSE表先清空，原因是因为CLOSE表中原来的城市已经考虑过了，后续不需要再计算。

再下一轮迭代的时候，就将所有CLOSE表中的城市当作中间城市，再更新一遍shortest数组就可以了。

当CLOSE表中出现城市1的时候，结束循环，因为我们只需要知道shortest[1]就行了。

    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N;
        long A,B,C;
        N = sc.nextInt();
        A = sc.nextLong();
        B = sc.nextLong();
        C = sc.nextLong();
        int[] a = new int[N];
        //al相当于CLOSE表，no相当于OPEN表
        HashSet<Integer> al = new HashSet<>();
        HashSet<Integer> no = new HashSet<>();
        for(int i = 0; i < N; i++){
            a[i] = sc.nextInt();
            no.add(i+1);
        }
        long[] shortest = new long[N];
        for(int i = 0; i < N; i++){
            shortest[i] = A + C * (N - a[i]);
        }
        no.remove(N);
        al.add(N);
        shortest[N-1] = 0;
        while(!al.contains(1)){
            long min = Long.MAX_VALUE;
            for(Integer tar : al){
                for(Integer st : no){
                    if(a[st-1] == tar){
                        shortest[st-1] = Math.min(shortest[tar-1] + A,shortest[st-1]);
                    }
                    else if(a[st-1] > tar){
                        shortest[st-1] = Math.min(shortest[tar-1] + (a[st-1] - tar) * B + A,shortest[st-1]);
                    }
                    else{
                        shortest[st-1] = Math.min(shortest[tar-1] + (tar - a[st-1]) * C + A,shortest[st-1]);
                    }
                    min = Math.min(min,shortest[st-1]);
                }
            }
            al.clear();
            Iterator<Integer> iterator = no.iterator();
            while (iterator.hasNext()){
                Integer in = iterator.next();
                if (shortest[in-1] == min){
                    al.add(in);
                    iterator.remove();
                }
            }
        }

        System.out.println(shortest[0]);

    }

表述的可能不是很清楚，如有疑问可以评论指出。

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[Dijkstra贪心思想妙用]真实笔试题：传送门

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