『日常训练』2020WFU个人积分赛第二场

1. 越狱【组合数学】

   思路：容斥。如果不加限制的话，n个人m种信仰，则共有 $m^n$种的排列方法，不合法的方案有 $m*(m-1)^{(n-1)}$（第一个位置m种随便放，后面的从m-1种选出一个来即可），结果就是 $m^n-m*(m-1)^{(n-1)}$。

   AC代码：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   typedef long long ll;
   const int maxn = 1e5 + 5;
   const int mod = 100003;
   ll ksm(ll a,ll b){
       ll ans = 1;
       while(b){
           if(b&1) ans = ans*a%mod;
           a = a*a%mod;
           b = b >> 1;
       }
       return ans%mod;
   }
   int main(void) {
       ll m,n;
       cin >> m >> n;
       ll ans = ksm(m,n);
       ll ans1 = m*ksm(m-1,n-1);
       cout<<((ans-ans1)%mod+mod)%mod<<endl;
       return 0;
   }
   
   

2. 转圈游戏【快速幂】

   思路：快速幂

   AC代码：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   typedef long long ll;
   const int maxn = 1e5 + 5;
   int ksm(int a,int b,int mod){
       int ans = 1;
       while(b){
           if(b&1) ans = ans*a%mod;
           a = a*a%mod;
           b >>= 1;
       }
       return ans%mod;
   }
   int main(void) {
       int n,m,k,x;
       cin >> n >> m >> k >> x;
       int ans = ksm(10,k,n);
       cout<<(x+m*ans%n)%n<<endl;
       return 0;
   }
   

3. Wonderful Randomized Sum【贪心】
   题意：给你一个数字序列，你可以选择它的一些前缀或后缀(可能是空的)中的每个数字都乘以-1。前缀和后缀可以交叉也可以为空。问能得到的最大序列和是多少。

   思路：应该可以看出，前缀和后缀交叉的情况下，交叉的那部分，相当于没有变化。 那么据题可知：

   设前缀为A，后缀为B，未变化部分的为C。序列数字总和为S（允许A，B，C都为空的情况，此时A=B=C=0，

   因为 A+B+C=S，需求解为 -（A+B）+C 的最大值，所以 —（A+B）+C的最大值 = —（S-C）+C的最大值 = 2C-S。综上 显然S是定值，我们要做的就是让C最大，问题就变成了求最大子段和了。

   AC代码：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   typedef long long ll;
   const int maxn = 1e5 + 5;
   int a[maxn];
   int main(void) {
       int n;
       cin >> n;
       int sum = 0;
       for(int i = 0; i < n; i++){
           cin >> a[i];
           sum += a[i];
       }
       int ans = 0;
       int maxx = 0;
       for(int i = 0; i < n; i++){
           ans += a[i];
           if(ans < 0) ans = 0;
           if(ans>maxx) maxx = ans;
       }
       cout<<2*maxx-sum<<endl;
       return 0;
   }
   

4. Subsegments【模拟】

   题意：给一个长度为 n 的数组，输出 n-k-1 个数，分别为下标为 i 到 i+k-1 这个区间内存在且只出现一次的数的最大值，不存在则输出 “Nothing”。

   思路：先把前 k 个数只出现一次的数存入 set 集合里，自动从小到大排序，如果不为空则输出最后一个数，否则输出 “Nothing”。 然后从 k+1 开始，每加入一个数就删去上一个区间的第一个数，并判断删去的数剩下的个数是否为 1，若是，则加入可行集合 set 里，否则就看它是否在可行集合里，在的话就删掉。 然后再判断新加入的数的个数是否为 1，是的话加入可行集合里，否则就看它是否在可行集合里，在的话就删掉。 最后再判断该区间的可行集合里是否为空，为空的话就输出 “Nothing”，否则输出最后一个数。

   AC代码：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   typedef long long ll;
   const int maxn = 1e5 + 5;
   int a[maxn];
   map<int,int> mp;
   set<int> s;
   int main(void) {
       int n,k;
       cin >> n >> k;
       for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
       for(int i = 1; i <= n; i++){
           if(i<=k){
               mp[a[i]]++;
               if(mp[a[i]]==1) s.insert(a[i]);
               else{
                   s.erase(a[i]);
               }
               if(i==k){
                   if(s.empty()) cout<<"Nothing"<<endl;
                   else cout<<*(--s.end())<<endl;
               }
           }
           else{
               mp[a[i]]++;
               mp[a[i-k]]--;
               if(mp[a[i]]==1) s.insert(a[i]);
               else s.erase(a[i]);
               if(mp[a[i-k]]==1)   s.insert(a[i-k]);
               else s.erase(a[i-k]);
               if(s.empty())   cout<<"Nothing"<<endl;
               else    cout<<*(--s.end())<<endl;
           }
       }
       return 0;
   }