PTA 08-图9 关键活动 题目关键点说明及解法完全分析

PTA-mooc完整题目解析及AC代码库：PTA（拼题A）-浙江大学中国大学mooc数据结构2020年春AC代码与题目解析（C语言）

假定一个工程项目由一组子任务构成，子任务之间有的可以并行执行，有的必须在完成了其它一些子任务后才能执行。“任务调度”包括一组子任务、以及每个子任务可以执行所依赖的子任务集。

比如完成一个专业的所有课程学习和毕业设计可以看成一个本科生要完成的一项工程，各门课程可以看成是子任务。有些课程可以同时开设，比如英语和C程序设计，它们没有必须先修哪门的约束；有些课程则不可以同时开设，因为它们有先后的依赖关系，比如C程序设计和数据结构两门课，必须先学习前者。

但是需要注意的是，对一组子任务，并不是任意的任务调度都是一个可行的方案。比如方案中存在“子任务A依赖于子任务B，子任务B依赖于子任务C，子任务C又依赖于子任务A”，那么这三个任务哪个都不能先执行，这就是一个不可行的方案。

任务调度问题中，如果还给出了完成每个子任务需要的时间，则我们可以算出完成整个工程需要的最短时间。在这些子任务中，有些任务即使推迟几天完成，也不会影响全局的工期；但是有些任务必须准时完成，否则整个项目的工期就要因此延误，这种任务就叫“关键活动”。

请编写程序判定一个给定的工程项目的任务调度是否可行；如果该调度方案可行，则计算完成整个工程项目需要的最短时间，并输出所有的关键活动。

输入格式:

输入第1行给出两个正整数N(≤100)和M，其中N是任务交接点（即衔接相互依赖的两个子任务的节点，例如：若任务2要在任务1完成后才开始，则两任务之间必有一个交接点）的数量。交接点按1_{*N*编号，*M*是子任务的数量，依次编号为1}M。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是该任务开始和完成涉及的交接点编号以及该任务所需的时间，整数间用空格分隔。

输出格式:

如果任务调度不可行，则输出0；否则第1行输出完成整个工程项目需要的时间，第2行开始输出所有关键活动，每个关键活动占一行，按格式“V->W”输出，其中V和W为该任务开始和完成涉及的交接点编号。关键活动输出的顺序规则是：任务开始的交接点编号小者优先，起点编号相同时，与输入时任务的顺序相反。

输入样例:

7 8
1 2 4
1 3 3
2 4 5
3 4 3
4 5 1
4 6 6
5 7 5
6 7 2

输出样例:

17
1->2
2->4
4->6
6->7

---

题目分析

该题实际上就是求一个AOE网络的关键路径问题，具体如下图所示。

1. 题目要求如果需要输出关键活动时，关键活动输出的顺序规则是：任务开始的交接点编号小者优先，起点编号相同时，与输入时任务的顺序相反。（这一点用邻接表存储图的时候比较好实现，下面解法会具体说）
2. 测试点中的多起点和终点情况，需要考虑整个网络图有多个联通分量的情况，因此在反向遍历时必须用整个项目的最早完成时间对所有终点进行筛选。

对于上述第二个关键点，可以用下面的用例来进行测试：

输入样例
7 6
1 2 4
1 3 3
2 4 5
3 4 3
5 7 5
6 7 2

输出样例
9
1->2
2->4

解法分析

根据上面的题目分析可知，为了输出关键路径，我们需要求得每一个结点的最早完成时间和最晚完成时间，然后再根据每一条边的三个相关值来确定该边是否为关键路径，这三个相关值分别为该边终点最晚时间、该边起点最早时间以及该边上的时间权重。

根据上述分析，我将整个解法分为了四步：

1. 根据输入建图
2. 根据各结点入度正向遍历图，设置各结点的最早完成时间
3. 根据各结点出度反向遍历图，设置各结点的最晚完成时间
4. 打印所有关键路径

仔细分析了题意之后，也确定了使用到的数据结构，主要有三个：

1. 将图以邻接表形式存储，表头结点数组中的每一个结点存储了该结点的最早完成时间earliest和最晚完成时间latest，与题目分析中的图正好对应。该邻接表还有两处需要特别说明的地方：
   • 使用邻接表存储非常方便解决关键点说明中第一点的问题，在输出关键路径时，只需要依次遍历表头数组，然后按顺序读取该表头结点后接的该结点发出的边链表进行判断即可（因为向链表插入边时是头插法，所以正好可以实现起点编号相同时与输入时任务的顺序相反）
   • 在反向遍历的过程中，需要根据邻接表找到每一个结点所有指向它的邻接点，所有该邻接表需要存储为十字链表形式，即每个表头结点后面不仅要链有一个它发出的边链表，还要链有一个指向它的边的链表
2. 在正向遍历时，需要根据每个结点入度来实现，因此需要一个与结点个数相同长度的整型数组，每个位置记录该结点的入度变化情况
3. 需要一个存储结点拓扑序的容器。如果仅需要正向遍历的话可以使用一个队列，但是为了降低反向遍历时再使用额外的数据结构来存储计算出度，这里我将正向遍历时的队列看作一个容器，反向遍历时当作一个栈来反向弹栈即可。正向遍历时，每一个入队的元素都不会被删除，在出队时仅仅把游标向前移动并输出即可，因此在反向遍历时，该容器还存储了完整的正向结点遍历顺序，只需要以与正向相反的顺序遍历即可。此方法节省了存储各节点出度的空间，也节省了计算各结点出度的时间。

明确了要使用的数据结构和具体实现步骤之后，实现起来就比较简单了。

在代码中对应上述四个步骤的函数分别为buildGraph()、forward()、backward()以及printPath()。

整体代码时间复杂度应该为O(V+E)，运行结果如下图：

---

代码（C语言）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MaxVertexNum 100
#define INFINITY 65535
/*-------------------- 图的邻接表定义 --------------------*/
typedef int Vertex;
typedef int WeightType;
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode {
    Vertex V1, V2;
    WeightType time;
    PtrToENode NextPointTo;
    PtrToENode NextBePointTo;
};
typedef PtrToENode Edge;

typedef struct Vnode {
    WeightType earliest, latest;    // 每个结点最早和最晚完成时间
    PtrToENode FirstPointToEdge; // 该结点发出的边链表
    PtrToENode FirstBePointToEdge;   // 指向该结点的边链表
} AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode {
    int Nv;
    int Ne;
    AdjList G;
};
typedef PtrToGNode LGraph;

LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{
    Vertex V;
    LGraph Graph;

    Graph = (LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;

    for (V = 0; V < Graph->Nv; ++V) {
        Graph->G[V].earliest = 0;
        Graph->G[V].latest = INFINITY;
        Graph->G[V].FirstPointToEdge = NULL;
        Graph->G[V].FirstBePointToEdge = NULL;
    }

    return Graph;
}

void DestoryGraph( LGraph Graph )
{
    Vertex V;
    PtrToENode Node;
    for (V = 0; V < Graph->Nv; ++V) {
        while (Graph->G[V].FirstPointToEdge) {
            Node = Graph->G[V].FirstPointToEdge;
            Graph->G[V].FirstPointToEdge = Node->NextPointTo;
            free(Node);
        }
    }
    free(Graph);
}

void InsertEdge(LGraph Graph, Edge E)
{
    E->NextPointTo = Graph->G[E->V1].FirstPointToEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstPointToEdge = E;
    E->NextBePointTo = Graph->G[E->V2].FirstBePointToEdge;
    Graph->G[E->V2].FirstBePointToEdge = E;
}
/*-------------------- 邻接表定义结束 --------------------*/
int container[MaxVertexNum];
int inDegree[MaxVertexNum];

LGraph buildGraph();
void solve(LGraph graph);
int forward(LGraph graph);  // 正向遍历
void backward(LGraph graph, WeightType finalTime);  // 反向遍历
void printPath(LGraph graph);   // 打印关键路径

int main()
{
    LGraph graph;
    graph = buildGraph();
    solve(graph);
    DestoryGraph(graph);

    return 0;
}

LGraph buildGraph()
{
    LGraph graph; Edge E;
    int vertexNum, i;

    scanf("%d", &vertexNum);
    graph = CreateGraph(vertexNum);
    scanf("%d", &(graph->Ne));
    if (graph->Ne != 0) {
        for (i = 0; i < graph->Ne; ++i) {
            E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->time);
            --E->V1; --E->V2;   // 注意输入点的编号与存储索引差1
            InsertEdge(graph, E);
            ++inDegree[E->V2];
        }
    }
    return graph;
}

void solve(LGraph graph)
{
    WeightType ans;

    ans = forward(graph);
    if (ans == -1) printf("0");
    else {
        printf("%d\n", ans);
        backward(graph, ans);
        printPath(graph);
    }
}

int forward(LGraph graph)
{
    Vertex v;
    WeightType finalTime;
    int front, rear, cnt;
    Edge edge;

    front = rear = -1;  // 队列的头尾
    for (v = 0; v < graph->Nv; ++v) {
        if (!inDegree[v]) {
            container[++rear] = v;
            graph->G[v].earliest = 0;  // 初始化起始结点的earliest
        }
    }
    cnt = 0; finalTime = -1;
    while (front != rear) {
        v = container[++front];
        ++cnt;
        for (edge = graph->G[v].FirstPointToEdge; edge; edge = edge->NextPointTo) {
            if (graph->G[v].earliest + edge->time > graph->G[edge->V2].earliest)
                graph->G[edge->V2].earliest = graph->G[v].earliest + edge->time;
            if (--inDegree[edge->V2] == 0)
                container[++rear] = edge->V2;
            if (graph->G[edge->V2].earliest > finalTime)    // 最大的earliest即为最终结果
                finalTime = graph->G[edge->V2].earliest;
        }
    }
    if (cnt != graph->Nv)
        return -1;
    return finalTime;
}

void backward(LGraph graph, WeightType finalTime)
{
    Vertex v;
    int i;
    Edge edge;

    for (i = graph->Nv; i > 0;) {
        v = container[--i];
        // 将网络最后出度为0的结点的latest值置为earliest值并且该结点earliest必须等于finalTime
        if (!graph->G[v].FirstPointToEdge && graph->G[v].earliest == finalTime)
            graph->G[v].latest = graph->G[v].earliest;
        for (edge = graph->G[v].FirstBePointToEdge; edge; edge = edge->NextBePointTo) {
            if (graph->G[v].latest - edge->time < graph->G[edge->V1].latest)
                graph->G[edge->V1].latest = graph->G[v].latest - edge->time;
        }
    }
}

void printPath(LGraph graph)
{
    Vertex v;
    Edge edge;

    for (v = 0; v < graph->Nv; ++v) {
        for (edge = graph->G[v].FirstPointToEdge; edge; edge = edge->NextPointTo) {
            if (graph->G[edge->V2].latest - graph->G[v].earliest == edge->time)
                printf("%d->%d\n", (v + 1), (edge->V2 + 1));
        }
    }
}