迭代最近点算法Iterative Closest Point（ICP）以及c++实现代码

有两组对应的点集（corresponding point sets）:

求欧式变换  使得：

ICP 算法基于最小二乘法进行迭代计算，使得误差平方和达到极小值：

可通过以下三个步骤进行求解：

（1）定义两组点的质心，简化目标函数

 

交叉项部分 在求和之后零，因此目标函数简化为：

第一项只与旋转矩阵R 有关，只要获得 R ，令第二项为零就能求得 t 。 

（2）计算每个点的去质心坐标，计算旋转矩阵R

其中，第二项 与R 无关，只有第三项与 R有关。因而，目标函数变为： 

通过 Singular Value Decomposition (SVD) 来进行求解，先定义矩阵：

W是一个 矩阵，对W 进行 SVD 分解，得： 

其中， 为奇异值组成的对角矩阵，当 W满秩时，R 为： 

（3）计算平移矩阵t

 （4）slam视觉十四讲ICP代码：

void pose_estimation_3d3d(const vector<Point3f>& pts1,
                          const vector<Point3f>& pts2,
                          Mat& R, Mat& t)
{
    // center of mass
    Point3f p1, p2;
    int N = pts1.size();
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        p1 += pts1[i];
        p2 += pts2[i];
    }
    p1 /= N;
    p2 /= N;

    // subtract COM
    vector<Point3f> q1(N), q2(N);
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        q1[i] = pts1[i] - p1;
        q2[i] = pts2[i] - p2;
    }

    // compute q1*q2^T
    Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        W += Eigen::Vector3d(q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z) * Eigen::Vector3d(q2[i].x,
                q2[i].y, q2[i].z).transpose();
    }
    cout << "W=" << W << endl;

    // SVD on W
    Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd(W, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV);
    Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();
    Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();
    cout << "U=" << U << endl;
    cout << "V=" << V << endl;

    Eigen::Matrix3d R_ = U * (V.transpose());
    Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d(p1.x, p1.y, p1.z) - R_ * Eigen::Vector3d(p2.x, p2.y, p2.z);

    // convert to cv::Mat
    R = (Mat_<double>(3, 3) <<
            R_(0, 0), R_(0, 1), R_(0,2),
            R_(1, 0), R_(1, 1), R_(1,2),
            R_(2, 0), R_(2, 1), R_(2,2));
    t = (Mat_<double>(3, 1) << t_(0, 0), t_(1, 0), t_(2, 0));
}