【学习计算机组成原理】原、补、反、移码

数据和现实的联系

数值数据的表示

有值的数据，在数轴上有对应点的数据。如实数…
真值：机器数对应现实中的数。
机器数：计算器内部01序列。

表示的三要素：

• 进制
• 定点与浮点表示
• 编码方式（原码，补码，反码，移码）

通过三要素即可确定数值。

原码表示

想想现实生活中2500为什么代表两千五百呢？
$2500=2\times10^3+5\times10^2+0\times10^1+0\times10^0=2000+500+0+0$
同样道理：
0101这个二进制原码表示的十进制是几呢？
$0101=0 \times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0=0+4+0+1=5$
所以二进制0101表示十进制5。

首位符号位，0表示正，1表示负

设n为位数，则原码范围：-2^n-1+1~2^n-1-1

十进制（Decimal）	二进制（Binary）	十进制（Decimal）	二进制（Binary）
0	0000	-0	1000
1	0001	-1	1001
2	0010	-2	1010
3	0011	-3	1011
4	0100	-4	1100
5	0101	-5	1101
6	0110	-6	1110
7	0111	-7	1111

目前定点数都用补码表示，但浮点数的尾数用原码定点小数表示

补码表示

在模运算系统中，一个数除以模的余数和自己等值。比如，在钟表中，13点和1点代表的值相同，12为模。

• 一个负数的补码等于模减去负数的绝对值（正数的补码等于自己）。
• A-B=A+(模-B)=A+(-B的补码)=A+(B的变补) （A>0,B>0） 比如，在钟表中，从1点到5点，可以往前拨4小时（+4），也可以往后拨8小时（-8）

计算器的运算器有几位，它的模就是2ⁿ。

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十进制（Decimal）	二进制（Binary）	十进制（Decimal）	二进制（Binary）
0	0000	-1	1111
1	0001	-2	1110
2	0010	-3	1101
3	0011	-4	1100
4	0100	-5	1011
5	0101	-6	1010
6	0110	-7	1001
7	0111	-8	1000

举几个例子：（假定8位）

十进制数	二进制补码	计算过程
-1	1111 1111	1 0000 0000-0000 0001=1111 1111
123	0111 1011	128 - 5=128 - 1 - 4 = 127 - 4 = 0111 1111 - 0000 0100 = 0111 1011
-123	1000 0101	1 0000 000 - 0111 1011 = 1111 1111 - 0111 1011 + 1 = 1000 0100 + 1 = 1000 0101

技巧：一个二进制负数的补码等于，从右往左看对应正数的原码，出现第一个1的左边全部取反得到的数
比如说-5，它对应正数5的原码是0101，从右往左看出现第一个1的左边全部取反，即左边3位都取反，得到1011，即为-5的补码。

正数：符号位是0，数值部分不变。（和原码相同）
负数：符号位是1，数值部分取反再加1。（反码加1）

设n为位数，则补码范围：-2^n-1~2^n-1-1

补码真值

随便给你一个补码，你怎么快速知道它对应的十进制是几呢？

这个是补码对应权值，最左边是符号位

和原码一样，按权展开即可：
$11010101=1\times-2^7+1\times2^6+1\times2^4+1\times2^2+1\times2^0=-128+64+16+4+1=-43$

得出一个公式：
[A]补=a_n-1a_n-2……a₁a₀
A=-a_n-1 $\times$ 2^n-1 + a_n-2 $\times$ 2^n-2 + …… + a₁ $\times$ 2 + a₀

变形补码

符号位使用多位表示，故可以存放溢出的结果

两位符号位如下：（模4补码）

十进制（Decimal）	二进制（Binary）	十进制（Decimal）	二进制（Binary）
0	00000	-0	00000
1	00001	-1	11111
2	00010	-2	11110
3	00011	-3	11101
4	00100	-4	11100
5	00101	-5	11011
6	00110	-6	11010
7	00111	-7	11001
8	01000	-8	11000

反码表示

推理：-123的补码等于10000100+1，所以只要推出10000100是什么，然后这个数加1就是对应的补码。首先-123的原码是11111011，对比发现，10000100和11111011除了符号位（首位）其余都相反，1变0，0变1。所以，我们总结一个新的编码方式，对于负数，符号位不变，其余位取反；对于正数，和原码都一样，不变。然后命名这个编码方式为反码，反就是相反的意思，这个名字能让人见名思义，挺不错的。

十进制（Decimal）	二进制（Binary）	十进制（Decimal）	二进制（Binary）
0	0000	-1	1000
1	0001	-2	1001
2	0010	-3	1010
3	0011	-4	1011
4	0100	-5	1100
5	0101	-6	1101
6	0110	-7	1110
7	0111	-8	1111

正数：符号位是0，数值部分不变。（和原码相同）
负数：符号位是1，数值部分取反。

移码表示

将数值加一个偏置常数，当位数为n时，偏置常数等于2^n-1

例如：
当n=4时，-8的移码是0，0的移码是8，7的移码是15。

十进制（Decimal）	二进制（Binary）	十进制（Decimal）	二进制（Binary）
0	1000	-1	0111
1	1001	-2	0110
2	1010	-3	0101
3	1011	-4	0100
4	1100	-5	0011
5	1101	-6	0010
6	1110	-7	0001
7	1111	-8	0000

可以看出移码和补码仅第一位不同。

2¹和2³哪个大？
如果用补码表示指数，1的补码是0001，3的补码是0011。计算机比较时，从左往右比，谁先出现1谁大。所以3大。
2^-1和2³哪个大？
如果用补码表示指数，-1的补码是1111，3的补码是0011。计算机比较时，从左往右比，谁先出现1谁大。所以-1大，出现错误。
如何解决这个问题？
移码用来表示指数（阶码）
-1的移码是0111，3的移码是1011。计算机比较时，从左往右比，谁先出现1谁大。所以3大。结果正确。
不仅-1和3可以比较，1和3也可以比较。