关系代数知识点

一.关系数据结构及形式定义

1.关系

现实世界的实体及实体间的各种联系均用关系来表示，是单一的数据结构。
是在二维表中是具体的内容，是动态的
就是一张二维表的具体内容，就是除了标题行以外的数据行，因为表数据经常被修改，插入，删除，所以不同时刻，关系可能不一样。其实，关系就是数学中的集合了，每一行就是集合中的一个元素。

①域

域：是一组具有相同数据类型的值的集合。
例如：一组整数集合，一组字符串数据集合，实数，{’学生‘，‘老师’，‘医生’}……。

②笛卡尔积

给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。
D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝ ｛（d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝。
是所有域取值的组合，其中不能有相同的值。
例：集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，
则两个集合的笛卡尔积：
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

元组

一个笛卡尔积中，一个元素有几个值，就叫几元组。
例：在A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}中，
(a, 0), (a, 1) 等 都是2元组 。

属性

在二维表中别一列对应一个域，给每一列取的名字称之为属性。

③关系

D1×D2×…×Dn的 子集 叫作在域D1，D2，…，Dn上的
关系，表示为
R（D1，D2，…，Dn） R：关系名，n：关系的目或度
例如：SAP(SUPERVISOR，SPECIALITY，POSTGRADUATE)
R=SAP ，n=3

码

（1）候选码

若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码。
简单的情况：候选码只包含一个属性。
最极端的情况：所有属性组是候选码，称为全码

（2）主码

若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码

（3）外码

设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码
    基本关系R称为参照关系（Referencing  Relation）
    基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）
  例：基本关系R：  学生（学号，姓名，性别，专业号（F），年龄）
         基本关系S：专业（专业号（ks），专业名）
     则专业号是关系R的外码。

2.关系模式

关系模式是对关系的描述，可以形式化地表示为：
 R（U，D，DOM，F）
              R             关系名
              U             组成该关系的属性名集合
              D             U中属性所来自的域
              DOM        属性向域的映象的集合
               F              属性间数据的依赖关系的集合

关系模式是静态稳定的。
比如我们看到的一张二维表的表头，即有哪些列构成，每个列的名称，类型啊长度等等；
关系模式是型，而关系是值。

3.关系数据库

在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库。
关系数据库的型:
关系数据库模式，是对关系数据库的描述
关系数据库的值:
关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库

二.关系模式完整性规则

1.实体完整性规则（Entity Integrity）

若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值
例：选修（学号，课程号，成绩）
“学号、课程号”为主码
“学号”和“课程号”两个属性都不能取空值
可以简单记忆为：主属性不能为空

2.参照完整性规则

若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应，则对于R中每个元组在F上的值必须为：
或者取空值（F的每个属性值均为空值）
或者等于S中某个元组的主码值
简单记忆为：外码要么为空，要么源自于被参照关系的主码
例：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
“班长”属性值可以取两类值：
（1）空值，表示该学生所在班级尚未选出班长
（2）非空值，该值必须是本关系中某个元组的学号值

3.用户定义的完整性

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。是用户根据实际情况自己定义的。

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问：为什么外部码属性的值也可以为空？什么情况下才可以为空？
在现实中该属性的值不知道或无意义，尽管被参照关系的主码值确定，但参照关系中在外码属性上的值不知道，此时外码属性上的取值可以为空。外部码属性的值为空，说明外码属性的值不知。

三.关系代数

一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。

①集合运算

（1）交并差
R

S

则

（2）笛卡尔积

一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
       R: n目关系，k1个元组
       S: m目关系，k2个元组
R×S 
      列：（n+m）列元组的集合
           元组的前n列是关系R的一个元组
           后m列是关系S的一个元组
      行：  k1×k2个元组（基数）
           R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }

②代数关系

1. 选择 σ

在关系R中选择满足给定条件的诸元组
σF® = {t|tR∧F(t)= ‘真’}
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
基本形式为：X1θY1
θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>


筛选出你所需要的行

2. 投影 π

从R中选择出若干属性列组成新的关系
πA® = { t[A] | t R } A：R中的属性列

  **投影操作主要是从列的角度进行运算**

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200307212252991.png)
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

筛选出你所需要的列

3. 连接 ⋈

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符
连接运算是：在R和S的广义笛卡尔积R×S中，
选取R在A属性组上的值与S在B属性组上的值满足比较关系θ的元组
两种常用的连接运算
等值连接
θ为“＝”的连接运算称为等值连接
自然连接
在等值连接中，在结果中把重复的属性列去掉。

4. 除 ÷

象集
给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
（t[X]表示元组t中相应于属性X的一个分量）

除：
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

Yx：x在R中的象集，x = tr[X]

在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集为 {(b4，c6)}
a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a1}

课后练习题解答

(1) $\Pi_{SNO}(\sigma_{JNO='J1'}(SPJ))$
(2) $\Pi_{SNO}(\sigma_{JNO='J1'\bigwedge PNO='P1'}(SPJ))$
(3) $\Pi_{SNO}(\sigma_{JNO='J1'\bigwedge COLOR='红'}(SPJ\bowtie P))$
(4) $\Pi_{JNO}(J)-\Pi_{JNO}(\sigma_{ COLOR='红'}(P\bowtie \sigma_{ CITY='天津'}(SPJ\bowtie S))$
(5) $\Pi_{JNO,PNO}(SPJ)\div \Pi_{PNO}(\sigma_{SNO='S1'}(SPJ))$