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基转换矩阵实质是对恒等映射的一种表示，记录了不同基底系间的映射和转换关系。
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作者：叼民翻图谶
链接：迹的几何意义是什么？
来源：知乎在数学和物理问题当中，很重要的一点就是要考虑内蕴 (intrinsic) 的量，因此在操作中就要求与坐标选取无关 (coordinate free)。一个基本事实是（线性空间到自身的）线性变换是内蕴量，然而表示线性变换的矩阵并不是内蕴量，因为它与基坐标选取有关，而且我们知道如果一个线性变换用矩阵 A A A 来表示，基坐标变换用 g g g 表示，那么新的坐标基下变换就共轭）变换变为 g − 1 A g g^{-1}Ag g−1Ag 。因此如果一定要用矩阵这样的非内蕴量来表达，那么就一定要考虑相似不变量
数学家更喜欢用内蕴的黑话来讨论问题，比如他们喜欢讲线性空间 W W W ，它的对偶空间 W ∗ W^* W∗ ,以及它们的张量积 W ⨂ p ⨂ ( W ∗ ) ⨂ q W^{\bigotimes p}\bigotimes(W^*)^{\bigotimes q} W⨂p⨂(W∗)⨂q ，而不喜欢讲 ” W W W 的一组基“和”指标运算“这样的话。
补充：What does ⨂ \bigotimes ⨂ and X ∗ X^* X∗ mean? - Mathematics Stack Exchange -
矩阵的三种解读：
- 表示一个向量空间到另一个向量空间的线性映射，且V中和W中采用不同的基底，此时线性映射不是算子
- 表示同一个向量空间中不同基底间的转换，映射前后采用的基底不同，此时线性映射为算子
- 表示同一个向量空间中一个向量被变换到另一个向量，映射前后采用的基底相同，此时线性映射为算子
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对矩阵左乘和矩阵右乘的看法：上面一条”对矩阵的三种解读“默认基于矩阵左乘，而基于矩阵右乘也是另一种思路。
{ x 1 ⃗ = r 11 q 1 ⃗ x 2 ⃗ = r 12 q 1 ⃗ + r 22 q 2 ⃗ x 2 ⃗ = r 13 q 1 ⃗ + r 23 q 2 ⃗ + r 33 q 3 ⃗ \left\{ \begin{aligned} \vec{x_1} & = \quad r_{11}\vec{q_1} \\ \\ \vec{x_2} & = \quad r_{12}\vec{q_1}+r_{22}\vec{q_2} \\ \\ \vec{x_2} & = \quad r_{13}\vec{q_1}+r_{23}\vec{q_2}+r_{33}\vec{q_3} \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1x2x2=r11q1=r12q1+r22q2=r13q1+r23q2+r33q3
那么两种不同的基底可以用下面方法来表示，第二个等号建立了同一向量在不同基底下的等价关系：
A = [ x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , x 3 ⃗ ] = [ q 1 ⃗ , q 2 ⃗ . q 3 ⃗ ] [ r 11 r 12 r 13 0 r 22 r 23 0 0 r 33 ] A=[\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}]=[\vec{q_1},\vec{q_2}.\vec{q_3}] \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ 0 & r_{22} & r_{23} \\ 0 & 0 & r_{33} \end{bmatrix} A=[x1,x2,x3]=[q1,q2.q3]⎣⎡r1100r12r220r13r23r33⎦⎤
线性代数知识点【不定期更新】
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转载自blog.csdn.net/chenzz444/article/details/104490728
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