Codeforces #711E: ZS the Birthday Paradox 题解

根据生日攻击理论的算法，我们很容易得到计算答案的公式，用1减去没有人生日相同的概率

\begin{aligned} (1) & a n s = & 1 - \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} \cdot \frac{2^{n} - 2}{2^{n}} \cdot . . . \cdot \frac{2^{n} - k + 1}{2^{n}} \\ (2) & = & 1 - Π_{i = 1}^{k - 1} \frac{2^{n} - i}{2^{n}} \end{aligned}

$\begin{align} ans =& 1- \frac{2^n-1}{2^n}\cdot \frac{2^n-2}{2^n}\cdot...\cdot \frac{2^n-k+1}{2^n} \tag{1}\\ =&1-\Pi_{i=1}^{k-1} \frac{2^n-i}{2^n} \tag{2}\\ \end{align}$
首先我们要考虑约分
因为分母只有2这一个因子，所以我们只要考虑分子里面有多少个2就可以了
显然

2^{n} - i

$2^n-i$ 所含的2的数目与i所含的2的数目相同
所以我们只要求1~k-1中有多少个2，我们只要枚举2,4,8…一个一个统计一遍就好
然后我们发现了一个重要的性质
如果

k \geq 1 e 6 + 3

$k\geq 1e6+3$ ，因为分子是若干个连续的数相乘，所以其中必然有一个是1e6+3的倍数，又因为gcd只有因子2，所以约分完之后分子仍然是1e6+3的倍数，取模之后必为0
这种情况分子就是分母，把分母用快速幂求一下就好
如果

k \leq 1 e 6 + 3

$k\leq 1e6+3$ ，就暴力算一下就好

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
using namespace std;

const int MOD=1e6+3;
const LL LINF=2e16;
const int INF=1e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;
const double pi=3.14159265;

inline int getint()
{
    char ch;int res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

inline LL getLL()
{
    char ch;LL res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

LL n,k;
LL Gcd,Inv;
LL Up,Down;

inline LL quick_pow(LL x,LL y)
{
    x%=MOD;LL res=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) res=(res*x)%MOD,y--;
        x=(x*x)%MOD;y>>=1;
    }
    return res;
}

inline void calc_gcd()
{
    Gcd=1;Inv=quick_pow(2,MOD-2);
    for (register LL i=2;i<=k-1;i<<=1)
        Gcd=(Gcd*quick_pow(Inv,(k-1)/i))%MOD;
}

namespace brute
{
    inline void solve()
    {
        LL i,cnt=0,starter=quick_pow(2,n);
        for (i=(starter-1+MOD)%MOD,Up=1,cnt=1;cnt<=k-1;i=(i-1+MOD)%MOD,cnt++) Up=(Up*i)%MOD;
        Up=(Up*Gcd)%MOD;
        Down=quick_pow(quick_pow(2,n),k-1);Down=(Down*Gcd)%MOD;
        Up=(Down-Up+MOD)%MOD;
        printf("%lld %lld\n",Up,Down);
    }
}

namespace big
{
    inline void solve()
    {
        Down=quick_pow(quick_pow(2,n),k-1);Down=(Down*Gcd)%MOD;
        printf("%lld %lld\n",Down,Down);
    }
}

int main ()
{
    n=getLL();k=getLL();
    if (n<=63 && (1ll<<n)<k) {printf("1 1\n");return 0;}
    calc_gcd();
    if (k<=1e6+48) {brute::solve();return 0;}
    big::solve();return 0;
}

Codeforces #711E: ZS the Birthday Paradox 题解

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