2 递推关系和母函数

2.2母函数

• 组合数学用的最多的工具要算母函数,什么是母函数,

• $(1+a_1x)(1+a_2x)...(1+a_n x)$

• $x_k$系数: $a_1,a_2,…,a_n$取 $k$个组合的全体之和

• 令都=1

• 另一方面

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• 定义2-1
• 序列 $C_0$, $C_1$, $C_2$,…

• $G(x)$为序列的母函数

• 序列长度有限,也可无限

 

• 序列和对应的母函数是一一对应
• 序列 $C_0,C_1$…为 $\{C_i\}$

 

2.8整数的拆分

• 母函数将问题转换为关于母函数的某种代数问题,
  • 甚至变成关于母函数的某种形式的运算,
  • 整数的拆分为例.
  • 正整数 $n$分解为若干个正整数的和,不考虑求和顺序
• n=2,2=1+1,
• n=3,1+2,1+1+1
• n=4,1+1+1+1,1+1+2,1+3,2+2

 

• 正整数 $n$拆分成若干正整数的和,
• 拆分个数用 $p(n)$

 

• 正整数拆分可理解为将 $n$个无区别的球,
  • 放人 $n$个无区别盒子
  • 每种方案就是一种拆分

 

• 1克、2克、3克、4克的砝码各一,
• 能称出多少重量,各有几种称法
• 可看成将 $n$拆分成1,2,3,4之和且不允许重复的拆分数,
• 利用母函数计算

• $2x^3$:称出3克的有2种方案,
  • 1+2,3,
  • 超10无法称出

 

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2.14非线性递推关系举例

• 前面的线性常系数齐次递推关系,基本上得到全部解决
• 非齐次递推关系只有部分能解
  • 非线性递推关系只能涉及较特殊的几个
• 几个典型的例子

2.14.1 Stirling数

• $n$个有区别球
• 两个有标志盒子
• 第一个放 $k$个,则第二个为 $n-k$个, $k=0,1,2,…,n$
• 这样的方案数正好是 $(x+y)^n$中 $x^ky^{n-k}$项的系数 $c(n,k)$
• 有

 

• $n$有区别球放进 $m$有标志盒子,要求 $m$个有标志的盒子的
  球数为
• 方案数

 

• 也可看作将 $n$个有标志的球全排列,
  • 依次取 $n_1$个放进第一盒,
  • 余下 $n_2$个放进第二个盒
  • 但盒子中球无顺序
  • 故得到不同的方案数为那么多
• 称

• 为 $(x_1+x_2+...+x_m)^n$的多项式系数

 

• 第 $i$项对应第 $i$个有区别的球,
• 取 $x_j$对应于第 $j$个盒子,
• 第 $i$项取 $x_j$对应将第 $i$个球放进第 $j$个盒
• 它的展开式为

• 表示第一个盒子里有 $n_1$个球,第二个里有 $n_2$个球,…,
• 所以,

的系数为

 

• 定理2-5
• $(x_1+x_2+...+x_m)^n$展开式的项数等于

• 系数和等于啥

 

• 这里只论第2类司特林数,
  • 第1类司特林数则只给出其定义和递推关系

 

 

• 定义2-3

• $n$个有区别的球放到 $m$个相同盒子,要求无一空盒

• 方案数 $S(n,m)$,称第2类司特林数

• $S(n,m)$就是将 $n$个数拆分成非空的 $m$个部分的方案数

• 红、黄、蓝、白4颜色,两个无区别盒子

  • 不许空盒,
  • 如下7种

$S(4,2)=7$

 

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2.14.2 Catalan数

• 凸n边形通过不相交于 $n$边形内部的对角线把
  • n边形拆分成若干三角形,
  • 不同拆分数用 $C_n$
• 五边形有5种

1.关于 Catalan数的递推关系

• 定理2-8

• ①的证明:

• 2-19的n+1边形,

• 以 $v_1v_{n+1}$作为三角形的一条边,三角形的另一个顶点为 $v_k$, $k=2,3,…,n$,

• 三角形 $v_1v_{n+1}v_k$将 $n+1$边形分割成

  • $k$边形,
  • $n-k+2$边形

• 以 $v_1v_{n+1}v_k$为一剖分三角形的剖分数应为
  $C_kC_{n-k+2}$, $k=2,3,…,n$

• 所得的剖分各不相同

 

2. Catalan数计算公式