机器学习日志——史上最白话的神经网络教程（看不懂是我太菜了）

先贴出BP神经网络代码如下：

class NeuralNetwork:
    def __init__(self, layers, activation='tanh'):
        if activation == 'logistic':
            self.activation = logistic
            self.activation_deriv = logistic_derivative
        elif activation == 'tanh':
            self.activation = tanh
            self.activation_deriv = tanh_deriv
        self.weights = []
        for i in range(1, len(layers) - 1):
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25)#i指当前层神经元
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25)
    def fit(self, X, y, learning_rate=0.2, epochs=10000):
        X = np.atleast_2d(X) 
        temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1])
        temp[:, 0:-1] = X 
        X = temp
        y = np.array(y)
        for k in range(epochs):
            i = np.random.randint(X.shape[0])
            a = [X[i]]
            for l in range(len(self.weights)):
                a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))
            error = y[i] - a[-1]
            deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]
            for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
                deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))
            deltas.reverse()
            for i in range(len(self.weights)):
                layer = np.atleast_2d(a[i])
                delta = np.atleast_2d(deltas[i])
                self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)
    def predict(self, x):
        x = np.array(x)
        temp = np.ones(x.shape[0]+1)
        temp[0:-1] = x
        a = temp
        for l in range(0, len(self.weights)):
            a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))
        return a

接下来，我将在具体的数学模型中描述上面代码的数学模型

在此之前，先介绍几个概念：

一、背景

     1.1以人脑中的神经网络为启发,历史上出现过很多不同版本

     1.2最著名的算法是1980年的 backpropagation（反向传播）

二、多层向前神经网络( Multilayer Feed- Forward Neural Network)

  （1） 每层由单元（units）组成
  （2） 输入层（input layer）是由训练集的实例特征向量传入
  （3） 经过连接结点的权重（weight）传入下一层，一层的输出是下一层的输入
  （4） 隐藏层的个数是任意的，输出层和输入层只有一个
  （5） 每个单元（unit）也可以被称作神经结点，根据生物学来源定义
  （6） 上图称为2层的神经网络（输入层不算）
  （7） 一层中加权的求和，然后根据非线性的方程转化输出
  （8） 作为多层向前神经网络，理论上，如果有足够多的隐藏层（hidden layers）和足够大的训练集，可以模拟出任何方程

三、设计一个神经网络

  3.1使用神经网络训练数据之前，必须确定神经网络层数，以及每层单元个数
    3.2特征向量在被传入输入层时通常被先标准化（normalize）和0和1之间（为了加强学习过程）
    3.3离散型变量可以被编码成每一个输入单元对应一个特征可能赋的值
        比如：特征值A可能取三个值（a0,a1,a2），可以使用三个输入单元来代表A
                    如果A=a0,那么代表a0的单元值就取1，其他取0

                    如果A=a1,那么代表a1的单元值就取1，其他取0，以此类推

        例如输出值为【0，9】，那么0就是0.1，1就是0.01，2就是0.001，3就是0.003.。。。。以此类推
    3.4神经网络即可以用来做分类（classification）问题，也可以解决回归（regression）问题
         3.4.1对于分类问题，如果是2类，可以用一个输入单元表示（0和1分别代表2类）
                                         如果多于两类，每一个类别用一个输出单元表示
                所以输入层的单元数量通常等于类别的数量 
        3.4.2没有明确的规则来设计最好有多少个隐藏层
               3.4.2.1根据实验测试和误差，以及准确度来实验并改进

四、计算正确率——交叉验证方法

如上图所示：通过一组训练集和测试集，训练集通过训练得到模型，将测试集输入模型得到测试结果，将测试结果和测试集的真实标签进行比较，得到准确率。
在机器学习领域一个常用的方法是交叉验证方法。一组数据不分成2份，可能分为10份，
第1次：第1份作为测试集，剩余9份作为训练集；
第2次：第2份作为测试集，剩余9份作为训练集；
......
这样经过10次训练，得到10组准确率，将这10组数据求平均值得到平均准确率的结果。这里10是特例。一般意义上将数据分为k份，称该算法为K-fold cross validation，即每一次选择k份中的一份作为测试集，剩余k-1份作为训练集，重复k次，最终得到平均准确率，是一种比较科学准确的方法。

四、BP算法
通过迭代来处理训练集中的实例；
对比经过神经网络后预测值与真实值之间的差；
反方向（从输出层=>隐藏层=>输入层）来最小化误差，来更新每个连接的权重；

4.1、算法详细介绍
输入：数据集、学习率、一个多层神经网络构架；
输出：一个训练好的神经网络；
初始化权重和偏向：随机初始化在-1到1之间（或者其他），每个单元有一个偏向；

代码实现如下：

        for i in range(1, len(layers) - 1):
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25)
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25)

对于每一个训练实例X，执行以下步骤：

1、由输入层向前传送：
结合神经网络示意图进行分析：

由输入层到隐藏层：
                                           



由隐藏层到输出层：
                                          
                                          
将两个公式进行总结，可以得到：

                                            

代码实现如下：

       X = np.atleast_2d(X)
        temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1])
        temp[:, 0:-1] = X
        X = temp
        y = np.array(y)
        for k in range(epochs):
            i = np.random.randint(X.shape[0])
            a = [X[i]]
            for l in range(len(self.weights)):
                a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))

            error = y[i] - a[-1]
            deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]

for l in range(len(a) - 2, 0, -1): deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l])) deltas.reverse()

Ij为当前层单元值，Oi为上一层的单元值，wij为两层之间，连接两个单元值的权重值，sitaj为每一层的偏向值。我们要对每一层的输出进行非线性的转换，示意图如下：

                             

当前层输出为Ij，f为非线性转化函数，又称为激活函数，有如下两种：

（1）逻辑函数

                                               

（2）双曲函数

                                

即每一层的输出为：
这里以逻辑函数举例：
                                                 

这样就可以通过输入值正向得到每一层的输出值。

代码如下：

#定义双曲函数
def tanh(x):
    return np.tanh(x)
#定义双曲函数的导数
def tanh_deriv(x):
    return 1.0 - np.tanh(x)**2

def logistic(x):
    return 1/(1 + np.exp(-x))

def logistic_derivative(x):
    return logistic(x)*(1-logistic(x))

2、根据误差反向传送 对于输出层：其中Tk是真实值，Ok是预测值

                                                                             

对于隐藏层：
                                     

权重更新：其中l为学习率

                                      

偏向更新：

                                      

代码实现如下：

            deltas.reverse()
            for i in range(len(self.weights)):
                layer = np.atleast_2d(a[i])
                delta = np.atleast_2d(deltas[i])
                self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)

五、BP神经网络的python实现详细解释

环境：python3.6

import numpy as np

#定义双曲函数
def tanh(x):
    return np.tanh(x)
#定义双曲函数的导数
def tanh_deriv(x):
    return 1.0 - np.tanh(x)**2

def logistic(x):
    return 1/(1 + np.exp(-x))

def logistic_derivative(x):
    return logistic(x)*(1-logistic(x))

#定义NeuralNetwork 神经网络算法
class NeuralNetwork:
    #初始化，layes表示的是一个list，eg：[10,10,3]表示第一层10个神经元，第二层10个神经元，第三层3个神经元
    def __init__(self, layers, activation='tanh'):
        """
        :param layers: A list containing the number of units in each layer.
        Should be at least two values
        包含每个层中单元数量的列表。
        应该至少有两个值（至少两层，输入层不算）
        :param activation: The activation function to be used. Can be
        激活函数
        "logistic" or "tanh"
        """
        #选择激活函数与其对应的导数
        if activation == 'logistic':
            self.activation = logistic
            self.activation_deriv = logistic_derivative
        elif activation == 'tanh':
            self.activation = tanh
            self.activation_deriv = tanh_deriv

        self.weights = []
        #循环从1开始，相当于以第二层为基准，进行权重的初始化
        for i in range(1, len(layers) - 1):#len(layers)代表了神经元的层数（输入层不算）
            #对当前神经节点的前驱随机赋值[-0.25,0.25]
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25)#i指当前层神经元
            #对当前神经节点的后继赋值
            self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25)

    #训练函数
    #X：训练集，传入的数据，通常模拟成二维矩阵，即x的每一行对应一个实例的各个特征，即行为实例个数，列为实例特征个数
    #Y:分类的标记，每个实例对应的结果，即输出层单元
    #learning_rate 学习率，即阶层
    # epochs，表示抽样的方法对神经网络进行更新的最大次数，
    def fit(self, X, y, learning_rate=0.2, epochs=10000):
        X = np.atleast_2d(X) #确定X至少是二维的数据
        #shape功能是查看矩阵或者数组的维数，0为行数，1为列数
        temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1]) #初始化矩阵，建立一个新矩阵[x,y]，其其行数与X一样多，其列数比X多1
        #:代表所有列数，0:-1代表第一列到倒数最后一列
        temp[:, 0:-1] = X  # 将偏置单元bias 添加到输入层
        X = temp
        y = np.array(y) #把list转换成array的形式
        #每次随机选一个，共循环epochs次
        for k in range(epochs):
            #随机选取一行，对神经网络进行训练
            i = np.random.randint(X.shape[0])
            a = [X[i]]

            #完成所有正向的更新
            # 分为两步，先计算实例值与权重的乘积，再调用激活函数进行非线性转化
            for l in range(len(self.weights)):
                a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))
            #y[i]是实例值a[-1]是输出层的值
            error = y[i] - a[-1]#它们之间的误差
            deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]

            #开始反向计算误差，更新权重
            for l in range(len(a) - 2, 0, -1): #我们从倒数第二层开始，倒数第一层是输出层，循环到第0层，阶层是-1
                deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))#.T表示转置，dot表示矩阵的行列式计算
            #将层数颠倒
            deltas.reverse()
            for i in range(len(self.weights)):
                #权重更新
                layer = np.atleast_2d(a[i])
                #偏向bias更新
                delta = np.atleast_2d(deltas[i])
                self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)

    #预测函数
    #参考正向输入
    def predict(self, x):
        x = np.array(x)
        temp = np.ones(x.shape[0]+1)
        temp[0:-1] = x
        a = temp
        for l in range(0, len(self.weights)):
            #这里的话我们不需要保存每一个值，因为我们只需要输出层的值
            a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))
        return a

  举例如下：

基于NeuralNetwork的XOR（异或）规律运算
import numpy as np
from BPNeuralNetwork import NeuralNetwork
nn = NeuralNetwork([2,2,1], 'tanh')
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
Y = np.array([0, 1, 1, 0])
nn.fit(X, Y)
for i in [[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1,1]]:
    if nn.predict(i)<0.5:
        p=0
    else:p=1
    print(i,nn.predict(i),p)

#基于NeuralNetwork的手写数字识别示例
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.metrics import confusion_matrix,classification_report
from sklearn.preprocessing import LabelBinarizer
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from BPNeuralNetwork import NeuralNetwork
#加载数据集
digits = load_digits()
#加载特征向量
X = digits.data
#加载标签（输出层）
y = digits.target
#数据标准化
X -= X.min()
X /= X.max()

nn =NeuralNetwork([64,100,10],'logistic')#由于有64个像素点，所以输入层有64个神经元，输出层为0-9，
#X_train,X_test, y_train, y_test =cross_validation.train_test_split(train_data,train_target,test_size=0.3, random_state=0)
# train_data：被划分的样本特征集
# train_target：被划分的样本标签
# test_size：如果是浮点数，在0-1之间，表示样本占比；如果是整数的话就是样本的数量
# random_state：是随机数的种子

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
# 将标签矩阵二值化，2转化为0.01，3转化为0.001
#1转化为0.1，2
labels_train = LabelBinarizer().fit_transform(y_train)
labels_test = LabelBinarizer().fit_transform(y_test)

print ("start fitting")
#开始训练
nn.fit(X_train,labels_train,epochs=3000)
predictions = []
for i in range(X_test.shape[0]):
    o = nn.predict(X_test[i])
    predictions.append(np.argmax(o))#选择最大概率的值
#表示预测结果，坐落在矩阵对角线的个数为预测正确的个数
print (confusion_matrix(y_test, predictions))
#precision
#recall所有真实值为3的值我们预测他为3
print (classification_report(y_test, predictions))

            for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
                deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))

            for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
                deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))

            for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
                deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))