数学中的图像重构-- 雷达成像 基础公式与符号

这是我之前在剑桥大学上的一节研究生应数选修课 Image Reconstruction，之前没怎么听懂，所以这段时间想把它补起来。
这节课老师没有明确的讲义，所以我就照记着的一些书的顺序，把它复习了。
整堂课只有我一个人上 QAQ，所以应该算是在数学系里比较小众的方向吧。
因此这篇笔记 基本上是为了 我自己以后查资料或公式好找一点。
这篇笔记基本上摘自 Fundamental of Radar Imaging. M.Cheney and B.Borden. 与我上课Mathematic Image Reconstruction. Evren Yarman. 时拍的板书。

• 笔记总目录

Complex Variables 复变量

• Euler’s relation 欧拉公式

$e^{i\theta}= \cos \theta + j \sin \theta$

• Complex conjugate 共轭

$F^*$

Fourier Transform 傅里叶变换

$f(t) = \int e^{-2\pi j v t}F(v)dv = \frac{1}{2\pi}\int e^{-i\omega t} \tilde{F}(\omega)d\omega$

$\tilde{F}(\omega) = F(2\pi \omega), \; \omega=2\pi v$

• Inverse Fourier Transform 反变换

$F(v) = \int e^{2\pi ivt}f(t) dt$

$\tilde{F}(\omega) = \int e^{i\omega v}f(t) dt$

• 和之前的笔记对比可以发现，这里的正负号，不一样，这无关紧要。重要的是正反变换的正负号要变换。

• 简单的定义: 如果 $f$ 为实，则 $F(-v) = F^*(v)$

• 这里卷积也可以参考我之前的笔记。

• Convolution Theorem 卷积运算

$(f\star g)(t) = \int e^{-2\pi ivt} F(v)G(v) dv$

• 卷积定义：

$(f\star g)(t) = \int f(t-t') g(t')dt'$

• Fact: smoothness function 平滑函数 它的傅里叶变换 快速衰减 rapid decay

• Paley-Wiener Theorem 佩利-维纳定理 关于 平滑和衰减的关联 *

• n维 傅里叶变换和反变换

$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int e^{-ix\cdot \xi}F(\xi)d\xi$
$F(\xi) = \int e^{ix\cdot \xi} f(x)dx$

Dirac Delta Function $\delta$ 单位冲激函数

• 这里 $\delta$ 也可以参考我之前的笔记。

$\int \delta (t) f(t) dt = f(0)$

$\delta(t) = \int e^{2\pi ivt}dt = \frac{1}{2\pi} \int e^{i\omega t}d\omega$

Vector Calculus 矢量微积分

• 如果一个矢量场 $B$ 有 zero divergence 零散量, 那么 $B$ 可以写作一个矢量场的curl旋度。
• 如果一个矢量场的旋度 $E$ 为零，那么 $E$ 可以写作 scalar function 标量函数的 gradient 斜度。

$\triangledown \times (\triangledown \times E) = \triangledown (\triangledown \cdot E) - \triangledown ^2 E$
$A \times (B \times C) = B(A\cdot C) - C(A\cdot B)$
$\int_\Omega \triangledown \cdot V dx = \int _{\partial \Omega} \hat{n} \cdot V d S$
$\int_\Omega \triangledown \times V dx = \int _{\partial \Omega} \hat{n} \times V d S$
$\partial \Omega : \text{boundary of } \Omega$

Functional Analysis 泛函分析

$<f,g> = \int fg^* dx$

• 用 $\dagger$ 表示 adjoint 伴随

• Cauchy-Schwarz Inequality 柯西-施瓦茨不等式:

$\Big\lvert \int h(t) f^*(t) dt \Big\rvert \leq \lVert h\rVert_2 \lVert f\rVert_2 \; \text{ where }\; \lVert f\rVert_2 ^2 = \int \lvert f(t)\rvert^2 dt$

Physics 物理学

• speed 速度 $c$

• wavelength 波长 $\lambda$

• wave number 波数 $k = \displaystyle\frac{\omega}{c} = \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$

• angular frequency 角频率 $\omega = \displaystyle 2\pi v$

• frequency 频率 $v = \displaystyle\frac{c}{\lambda}$

• Ohm’s Law 欧米定律

$V = I\cdot R$

• $V$ 电压
• $I$ 电流
• $R$ 电阻