P6298 齿轮 题解

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简要题意：

求在 $n$ 个数中选 $k$ 个数使其 $\gcd$ 分别为 $1$ ~ $m$ 的个数。 $m = \max_{i=1}^n a_i$.

这是某洛谷月赛的 $\text{T2}$，有一定思维难度。

子任务 $1$

子任务 $1$ ： $n \leq 10$， $m \leq 10^6$， $k \leq 10$

暴力枚举 $k$ 个数记录 $\text{gcd}$ 即可。

时间复杂度： $O(C_n^k \log C_n^k)$.

实际得分： $10pts$.

子任务 $2$

子任务 $2$： $n,m,k \leq 10^3$.

给一些简单 $\text{dp}$ 乱搞的部分分。

子任务 $3$

子任务 $3$： $n \leq 10^6$， $m \leq 10^3$， $k \leq 2$.

预处理两两 $\gcd$. 但不是 $O(n^2 \log m)$ 的那种，而是预处理所有 $\leq 10^3$ 的数的个数记为 $f$，在 $f$ 上两两匹配 $\gcd$ 记录个数即可。

时间复杂度： $O(m^2 \log m)$.

实际得分： $5pts$.

子任务 $4$

子任务 $4$： $n,m \leq 10^6$， $k \leq 1$

这是个送分的子任务，统计每个数出现的次数即可。

时间复杂度： $O(n)$.

实际得分： $5pts$.

子任务 $5$

子任务 $5$： $n,m \leq 10^6$， $k \leq 2$.

似乎不能暴力统计两两 $\gcd$ 了。所以这个子任务想要解决必须写正解，如果你会乱搞可以试一试。

子任务 $1$ ~ $6$

对于 $100 \%$ 的数据， $n,m \leq 10^6$, $1 \leq k \leq n$.

我们需要考虑高级的 $\text{dp}$ 方式。

用 $g_i$ 表示选出 $k$ 个数，其 $\text{gcd}$ 为 $i$ 的倍数 的个数。这里我们要考虑容斥，不是很简单的样子。

$g_i = C_{\sum_{j=1}^n [i | a_j]}^k$

因为在所有是 $i$ 的倍数中选 $k$ 个用组合，但是不完全正确，因为 $g_i$ 很有能计算重复，所以我们用 容斥 计算，把所有的 $g_j (i | j \space \space \text{and} \space \space i \not = j)$ 全部减掉，然后对它们的和进行组合。

如何计算组合呢？我们可以预处理 阶乘逆元 然后 $O(1)$ 回答。

时间复杂度： $O(n + m) + \sum_{i=1}^m O \big(\lfloor \frac{m}{i} \rfloor \big) = O(n + m \log m)$.

实际得分： $100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll f[N],inv[N],invf[N];
ll g[N]; int t[N],n,m,k;

inline ll calc(int x,int y) {
	return x<y?0:(f[x]*invf[y]%MOD*invf[x-y]%MOD);
}  //组合

int main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	f[0]=invf[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		inv[i]=(i==1)?1:(inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD);
		f[i]=f[i-1]*i%MOD; invf[i]=invf[i-1]*inv[i]%MOD; //处理逆元，阶乘逆元
		t[read()]++; //记录桶
	} for(int i=m;i;i--) {
		int cnt=0; //记录和
		for(int j=1;i*j<=m;j++) cnt+=t[i*j],g[i]=(g[i]-g[i*j]+MOD)%MOD; //容斥减掉 , 统计和
		g[i]=((g[i]+calc(cnt,k))%MOD+MOD)%MOD; //和的组合
	} for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld ",g[i]);
	return 0;
}