姗姗来迟的挑战（四）

说在前面

题目背后的故事

早在本蒟蒻还没有退役的时候，yuzan1830就已经酝酿好了题目。鉴于本蒟蒻的水瓶水平，当时题目没有解决。于是非常无情地，这道题被咕掉了。

题目原型是这样的：平面内有一些圆，每个圆有一定的半径。圆的位置可以移动，但不能有重叠。现在需要在平面内找到一个矩形，使得这些圆都在矩形内，且矩形的面积最小。求最小面积。yuzan1830并不喜欢特别多的输入，于是他只给出了半径为某个值的圆的数量，而不是给出每个圆的半径。

这里不讨论过去一年的时间里yuzan1830是如何破茧成蝶、寻找成长的价值，以及本蒟蒻是如何放弃挑战、走向自闭的深渊， 现在直接进入正题：模拟退火。

重拾挑战

模拟退火的核心是以一定概率接受随机产生的新解。以求函数 $f(x)$的最小值为例，这个概率为（ $T$为当前的温度）：

$p=\begin{cases} 1&\Delta f<0\\ e^{\frac{-\Delta f}T}&\Delta f\geqslant 0 \end{cases}$

除此之外就是如何产生新解以及调参的问题。

本题最大的问题是圆的位置不确定。不过用上模拟退火就显得简单粗暴了，将矩形的面积看成是关于圆的位置集合的一个函数 $f(S)$， $S=\lbrace(x_i,y_i)\rbrace$，随机确定每个圆的位置，然后可以通过求此时矩形的最小面积作为函数值，再用模拟退火求函数 $f(S)$的最小值。

在圆的位置确定的情况下求矩形的最小面积成了另一个问题。显然矩形的每条边一定和至少一个圆相切。如果知道了矩形两条邻边的倾斜角 $\theta_1,\theta_2$，就可以用两条倾斜角分别为 $\theta_1,\theta_2$的直线去和每一个圆相切，得到两组平行线，最外边的四条直线围成的图形即为所求矩形。而 $\theta_1,\theta_2$中一定有一个角在 $[0,90^{\circ})$范围内（设为 $\theta$），而另一个角就是 $\theta+90^{\circ}$。此时矩形的面积又可以看成是关于 $\theta$的函数 $g_S(\theta)$。

然后又用模拟退火求 $g_S(\theta)$的最小值？没有必要。如果另行作一个函数 $f'(S)=g_S(0)$表示 $\theta=0$时矩形的面积¹，虽然 $\theta=0$时矩形的面积不一定最小，但对问题的最终答案没有影响。考虑把圆的位置集合为 $S$时面积最小的矩形及所有的圆绕原点旋转，保持相对位置不变，旋转到矩形的四条边与坐标轴平行为止。记旋转后圆的位置集合为 $S'$，矩形的倾斜角为 $\theta'$。于是 $\theta'=0$，那么有

$f'(S')=f(S')=f(S)$

而圆的位置是随机的， $f$函数能取到的值， $f'$函数都能取到。因此只需要求 $f'(S)$的最小值作为最终答案，连切线都不需要算了，直接取所有圆的上下左右边界。

初始解设置为所有的圆排成一列。生成新解的时候，随机选择一个圆，随机移动到附近的一个位置，移动的距离随温度下降而减少。如果移动后的圆与其它的圆出现了重叠，简单粗暴地重新生成新解。

$\texttt{TO BE CONTINUED...}$

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1. 这里的 $f'(S)$不表示 $f(S)$的导数。 ↩︎