CF963E Circles of Waiting

Circles of Waiting

题目描述
http://codeforces.com/contest/963/problem/E
题解
一种暴力的做法，对于每个节点(x,y)，f(x,y)=f(x-1,y)*p1+f(x,y-1)*p2+f(x+1,y)*p3+f(x,y+1)*p4。
对于这个式子直接列高斯消元的话是O（n^6）的，看起来会TLE。
但是我们注意到，如果我们把节点按从上到下从左到右的顺序编号的话，对于方程中的每一行，(x,y-n*2) 左边和 (x,y+n*2)右边全都是0。
所以我们对于每一行只存它往左n*2和往右n*2的位置的值。
在消元的过程中，对于每一行，它所对应的的列也必然只有它往下的n*2列可能存在非零数。
所以经过一波骚操作，O(n^6)的高斯消元就被我们优化到了O(n^4)。
然后就可以过了。
代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define P 105
#define N 8000
#define M 205
using namespace std;
int n,A,B,w[P][P],cnt,f[N],s[N][M],val[N],ans[N],p[5],sum;
int pf(int x){return x*x;}
int t1[]={-1,0,1,0};
int t2[]={0,-1,0,1};

int Pow(int a,int b)
{
  int res=1;
  while(b)
  {
    if(b&1)res=(ll)res*a%mod;
    a=(ll)a*a%mod;b>>=1;
  }
  return res;
} 

int gauss()
{
  for(int i=1;i<=cnt;i++)
  {
    for(int j=i+1,k=1;j<=cnt&&k<=A;j++,k++)
      if(s[j][A-k])
      {
        int num=(ll)s[j][A-k]*Pow(s[i][A],mod-2)%mod;
        for(int x=A,y=A-k;x<=B;x++,y++)
          s[j][y]=(s[j][y]-(ll)num*s[i][x]%mod+mod)%mod;
        val[j]=(val[j]-(ll)num*val[i]%mod+mod)%mod;
      }
  }
  for(int i=cnt;i>=w[n][n];i--)
  {
    ans[i]=(ll)val[i]*Pow(s[i][A],mod-2)%mod;
    for(int j=i-1,k=1;j&&k<=A;j--,k++)if(s[j][A+k])
      val[j]=(val[j]-(ll)ans[i]*s[j][A+k]%mod+mod)%mod;
  }
  return ans[w[n][n]];
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);A=n*2;B=n*4;
  for(int i=0;i<4;i++)scanf("%d",&p[i]),sum+=p[i];
  for(int i=0;i<=A;i++)
    for(int j=0;j<=A;j++)
      if(pf(i-n)+pf(j-n)<=n*n)w[i][j]=++cnt;
  for(int i=0;i<=A;i++)
    for(int j=0;j<=A;j++)if(w[i][j]){
      for(int k=0;k<4;k++)
      {
        int x=i+t1[k],y=j+t2[k];
        if(w[x][y])s[w[i][j]][w[x][y]-w[i][j]+A]=p[k];
      }
      s[w[i][j]][A]=mod-sum;
      val[w[i][j]]=mod-sum;
    }
  printf("%d\n",gauss());
  return 0;
}