几个公式定理及证明
一、如果 \(a \mid b\)，且 \(b \mid c\)，那么 \(a \mid c\)
二、如果 \(a \mid b\)，且 \(a \mid c\)，那么对于任意整数 \(x\)，\(y\)，有 \(a \mid (bx + cy)\)。
三、设 \(m \not= 0\)，那么 \(a \mid b\) 等价于 \(ma \mid mb\)。
四、设 \(x\) 和 \(y\) 满足：\(ax + by = 1\)，且 \(a \mid n\) 、\(b \mid n\)，那么 \(ab \mid n\)。
通过 \(ax + by = 1\) 一定有 gcd(a, b) = 1，分两种情况。
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1 \(a\) \(b\) 都是质数，我们可以直接推出 \(ab \mid n\)。
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2 \(a\) \(b\) 中有一个为1，我们一也可以直接推出 \(ab \mid n\)。
五、若 \(b = qd + c\)，那么 \(d \mid b\) 的充要条件是 \(d \mid c\)。
充分条件 \(d \mid b \rightarrow d \mid c\)
对方程两边同时初除以 d 得到 \(z = z + c \div d\)，要使方程两边都是整数则 \(c \div d\) \(\epsilon\) \(z\)，有 \(d \mid c\)，这里的 \(z\) 是代表整数。
必要条件 \(d \mid b \leftarrow d \mid c\)
同上除以 d 得到 \(b \div d = z + z\)，要使方程两边都是整数则 \(b \div d\) \(\epsilon\) \(z\)，有 \(d \mid b\)。