二叉树遍历问题：前、中、后遍历顺序知二求一

二叉树是每个结点（node）拥有子结点不超过两个的树。二叉树的遍历（Traversal）是指沿某条路线，依次对树的每个结点做且仅做一次访问的过程。其主要方式有前序遍历（或称先序遍历）(Preorder Traversal）、中序遍历（Inorder Traversal）、后序遍历（Postorder Traversal）。前序遍历指对每个结点，先访问其根结点，再访问其左侧子结点，最后访问其右侧子结点；中序遍历指对每个结点，先访问其左侧子结点，再访问其根结点，最后访问其右侧子结点；后序遍历指对每个结点，先访问其左侧子结点，再访问其右侧子结点，最后访问其根结点。以下讨论以D、L、R分别代指根结点、左侧子结点、右侧子结点。

图1-1：二叉树遍历通式

根据二叉树的两种遍历顺序求第三种遍历顺序实际上是求树的形态。对于一棵确定的二叉树，其三种遍历方式是唯一的。因此只要确定了树的形态，就可以确定各种遍历顺序。二叉树遍历过程是一种递归过程。如对左侧子结点的访问，即为对左侧子树的遍历。即二叉树遍历通式图1-1所示。据此，可由三种遍历方式的特点确定根结点，再不断将剩余结点划分为左子树与右子树，并最终确定树的形态，得到未知的遍历顺序。

下面以图1-2中所示的一棵比较一般的简单二叉树为例，说明前、中、后遍历顺序知二求一的详细过程。

"图1-2：二叉树示例"

1.由前序遍历、中序遍历求后序遍历

由前序遍历（DLR）的规则可知，首个访问对象必为树根（即首个根结点），后若干项为对左子树的访问，再后若干项直至最后是对右子树的访问。

例如：已知对某二叉树前序遍历顺序为：ABDEGHCFI，中序遍历顺序为DBGEHACIF，求后序遍历顺序。

解：由前序遍历顺序可确定第一层根结点为A，记为D₁=A。由中序遍历顺序可确定第一层的左子树中序遍历为L₁=(DBGEH)_in，右子树中序遍历为R₁=(CIF)_in。配合前序遍历，可知第一层的左子树前序遍历为L₁=(BDEGH)_pre，右子树前序遍历为R₁=(CFI)_pre。再根据对L₁中序、前序遍历的结果，易知D₂=B，同理可得各个结点左、右两子树的组成，再不断迭代即可得到整个树的结构。

"图1-3：迭代找树"

由后序遍历、中序遍历求前序遍历的过程与之类似。

2.由前序遍历、后序遍历求中序遍历

由前序遍历的规则，可知首个访问对象必为树根，第二个访问对象必为树根左子树的树根。同理，对于后序访问，最后一个访问对象为树根，而倒数第二个访问对象为右子树的树根。可据此将所有访问对象不断划分成各个左、右子树，最终得到二叉树结构。

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例如：已知对某二叉树前序遍历顺序为：ABDEGHCFI，后序遍历顺序为DGHEBIFCA，求中序访问顺序。

解：由前序遍历顺序可确定第一层根结点为A，记为D₁=A；左子树根结点为B，记为D_L=B。由后序遍历顺序可确定第一层根结点为A；右子树根结点为C，记为D_R=C。依此可根据前序遍历的顺序得到对左、右子树的前序遍历顺序，即L₁=(BDEGH)_pre，R₁=(CFI)_pre；可根据后序遍历顺序得到对左、右子树后序遍历顺序，即L₁=(DGHEB)_post，R₁=(IFC)_post。再不断迭代可得到整个树的可能结构。

"图1-4：迭代找树2"

有一种特殊情况需要说明：当前序遍历第二个访问对象与后序遍历倒数第二个访问对象相同时，可认为是该结点左子树树根与右子树树根相同，也就是说该结点仅有一个子结点。在前序访问和后序访问中，此时这个子结点可以认为是该结点的左结点，也可认为是该结点的右结点，这不会影响它在前序访问和后序访问中被访问的顺序，但是会影响该结点在中序访问中被访问的顺序。因此，若二叉树中某结点仅有一个子结点时，不能由前序遍历和后序遍历得出中序遍历的访问顺序。