2018 年“三盟科技杯”中国大学生程序设计竞赛（湖南）

2018 年“三盟科技杯”中国大学生程序设计竞赛（湖南）

A. Easy h-index

题目描述：给出一个数组\(a_i\)，求最大的\(h\)，使得至少有\(h\)个数不少于\(h\)。

solution
模拟。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

B. Higher h-index

题目描述：写论文，当一份论文花费了\(x\)小时时，这份论文会得到\(ax\)个引用，\(a\)是给定的常数，\(x\)必须为正整数，每份论文都可以被之后自己写的论文引用，现在有\(n\)个小时写论文，求最大的\(h\)，使得至少有\(h\)份论文得到的引用个数不少于\(h\)。

solution
当\(n \leq a\)时，答案为\(n\)。
当\(n > a\)时，若要使答案为\(h\)，则采取贪心策略：每份论文只用一个小时，要保证前\(h\)份论文的引用个数不少于\(h\)，则\(h-a+h \leq n\)，所以\(h_max=\frac{1}{2}(a+n)>n\)，所以最终答案为\(\frac{1}{2}(a+n)\)。

时间复杂度：\(O(1)\)

C. Just h-index

题目描述：给出一个数组\(a_i\)，每次询问一个区间\([L, R]\)，求最大的\(h\)，使得\([L, R]\)内至少有\(h\)个数不少于\(h\)。

solution
可持久化线段树。

时间复杂度：\(O(qlogn+nlogn)\)

F. Sorting

题目描述：给定\(n\)个三元组\((a_i, b_i, c_i)\)，求一个字典序最小的排列\(p_i\)，使得
\[\frac{a_{p_{i-1}}+b_{p_{i-1}}}{a_{p_{i-1}}+b_{p_{i-1}}+c_{p_{i-1}}}\leq\frac{a_{p_i}+b_{p_i}}{a_{p_i}+b_{p_i}+c_{p_i}}\]

solution
按题目要求排序。
时间复杂度：\(O(nlogn)\)

G. String Transformation

题目描述：给定两个字符串\(S, T\)，\(S, T\)由'a, b, c'组成，可以对字符串\(S\)进行操作，每次删除或插入'aa', 'bb', 'abab'，问\(S\)是否能变成\(T\)。

solution
操作中没有'c'，也就是说可以以'c'为间隔拆分字符串，通过手工计算，可以知道字符串中的'ab', 'ba'可以互相替换，因为'ab'->'abaa'->'ababba'->'ba'，反过来'ba'就可以变成'ab'，所以只要每一段的'a', 'b'的数目的奇偶性分别相等，则\(S\)可以变成\(T\)。

时间复杂度：\(O(n)\)

I. Longest Increasing Subsequence

题目描述：给定一个数列\(a_i \leq n\)，设\(f(x)\)表示将数列里的\(0\)替换成\(x\)后，最长严格上升子序列的长度，求\(\sum_{i=1}^n if(i)\)。

solution
显然，\(f(x)\)要么等于原最长严格上升子序列，要么加一。所以只需要求出哪些数能让答案加一即可。所以先预处理出原序列的最长严格上升子序列，若\(i\)和\(j\)是最长严格上升子序列的相邻两位，且\(i\)和\(j\)之间有\(0\)，则\([a_i+1, a_j-1]\)内的数能使答案加一。这个可以从左到右扫一遍，然后记录最长严格上升子序列的某一位的最小的数是什么即可（这个数的位置的右边必须有\(0\)）

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

J. Vertex Cover

题目描述：给出一个\(n\)个点的完全图，编号为\(0\)~\((n-1)\)，点权为\(2^i\)。开始时\(A\)选定若干条边，然后\(B\)选择若干个点来覆盖这些边（每条边的端点至少有一个被选），\(B\)选的点的点权是最小的。求出\(A\)有多少种选择方案使得\(B\)的点权和为\(k\)。

solution
一个点能被\(B\)选上，必定是这个点与另一个点权比它大的点的连边至少有一条被选上，而且该点与比它小的点的连边都没有被选上。按照这个即可算出答案。

时间复杂度：\(O(n)\)

K. 2018

题目描述：给定\(a, b, c, d\)，求出满足\(a\leq x \leq b, c\leq y \leq d, xy=2018\)的数对\((x, y)\)的个数。

solution
容斥原理。

时间复杂度：\(O(1)\)