gcd以及ex_gcd的总结

gcd以及ex_gcd的总结

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ex_gcd()---表示扩展欧几里得算法

gcd()---表示最大公约数，常用方法是欧几里得算法

定义1：a和b是两个不全为0的整数，称a与b的公因子中最大的为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)来表示。

定义2：a和b是两个非0的整数，称a与b的公倍数中最小的为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)来表示。

最小公倍数与最大公约数之间的性质：

    1、若a|m,b|m,那么lcm(a,b)|m

    2、若d|a，d|b，则d|gcd(a,b)

    3、lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b

   4、设m，a，b是正整数，则lcm(ma,mb)=m*gcd(a,b)

   5、若m是非0整数，a1,a2……an的公倍数，则lcm(a1,a2……an)|m

   6、整数a和b素因子分解成a=p1^(r1)*p2^(r2)……pn^(rn),b=p1^(s1)*p2^(s2)……pn^(sn),在这儿·pi是不同的素数

          gcd(a,b)=p1^min(r1,s1)*p2^min(r2,s2)*……pn^min(rn,sn)

          lcm(a,b)=p1^max(r1,s1)*p2^max(r2,s2)*……pn^max(rn,sn)

gcd的求解思路----辗转相除法

递归求解

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1. int gcd(int m,int n)  
2. {  
3.     if(n==0)  
4.     return m;  
5.     else  
6.     return gcd(n,m%n);  
7. }  

迭代求解

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1. int gcd(int m,int n)  
2. {  
3.     int temp;  
4.     if(m<n)  
5.     {  
6.         swap(m,n);  
7.     }  
8.     while((temp=m%n)!=0)  
9.     {  
10.         m=n;  
11.         n=temp;  
12.     }  
13.     return n;  
14. }  

HDU1222

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1222

题意：假设步长是m 总长度是N, 这里首先我们计算出他们的周期，也就是最小公倍数，当过了这个周期，狼搜索的点肯定重复了！

因为狼每走一次肯定是搜索了一个点，搜索完n个点的时候，走的长度正好是这个周期，说明他没有重复的搜索了N个点！这就转化到gcd

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cmath>  
4. #include<cstring>  
5. #include<algorithm>  
6. using namespace std;  
7. /* 
8. int gcd(int m,int n) 
9. { 
10.     int temp; 
11.     if(m<n) 
12.     { 
13.         swap(m,n); 
14.     } 
15.     while((temp=m%n)!=0) 
16.     { 
17.         m=n; 
18.         n=temp; 
19.     } 
20.     return n; 
21. } 
22. */  
23. int gcd(int m,int n)  
24. {  
25.     if(n==0)  
26.     return m;  
27.     else  
28.     return gcd(n,m%n);  
29. }  
30. int main()  
31. {  
32.     int m,n;  
33.     int T;  
34.     scanf("%d",&T);  
35.     while(T--)  
36.     {  
37.         scanf("%d%d",&m,&n);  
38.         if(gcd(m,n)==1)  
39.         printf("NO\n");  
40.         else  
41.         printf("YES\n");  
42.     }  
43.     return 0;  
44. }  

HDU1108

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1108

题意：很简单，就是求最小公倍数，利用性质3就可以

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cstring>  
4. #include<cmath>  
5. using namespace std;  
6.   
7. int gcd(int a,int b)  
8. {  
9.     if(b==0)  
10.     return a;  
11.     else  
12.     return gcd(b,a%b);  
13. }  
14.   
15. int main()  
16. {  
17.     int a,b;  
18.     int k;  
19.     while(cin>>a>>b)  
20.     {  
21.         k=a*b/gcd(a,b);  
22.         cout<<k<<endl;  
23.     }  
24.     return 0;  
25. }  

扩展欧几里得算法：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的 欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

在通过循环就可以写出代码

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1. long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.     {  
5.         x=1;  
6.         y=0;  
7.         return a;  
8.     }  
9.     long long r=ex_gcd(b,a%b,x,y);  
10.     long long t=x;  
11.     x=y;  
12.     y=t-a/b*y;  
13.     return r;  
14. }  

HDU4180

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4180

题意： 给出分数(a/b)求另一个分数(c/d){d < b),且满足fabs(a/b - c/d)最小。 ab互质时 最小时满足 bc+1 = ad || bc = ad+1，正符合扩展欧几里得。求出两个d后比较。 

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. using namespace std;  
4. int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)  
5. {  
6.     if(b==0)  
7.     {  
8.         x=1;  
9.         y=0;  
10.         return a;  
11.     }  
12.     int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);  
13.     int t=x;  
14.     x=y;  
15.     y=t-a/b*y;  
16.     return r;  
17. }  
18. int main()  
19. {  
20.     int t;  
21.     cin>>t;  
22.     int a,b;  
23.     int x,y;  
24.     while(t--)  
25.     {  
26.         scanf("%d/%d",&a,&b);  
27.         int gcd=ex_gcd(a,b,x,y);  
28.         if(gcd!=1)  
29.         {  
30.             printf("%d/%d\n",a/gcd,b/gcd);  
31.             continue;//这儿必须要写啊 不然会wa的  
32.         }  
33.         if(a==1)  
34.         {  
35.             printf("%d/%d\n",a,b-1);  
36.             continue;  
37.         }  
38.         int c1=(-y+a)%a;  
39.         int c2=(y+a)%a;  
40.         int d1=(x+b)%b;  
41.         int d2=(-x+b)%b;  
42.         if(d1<d2)  
43.             printf("%d/%d\n",c2,d2);  
44.         else  
45.             printf("%d/%d\n",c1,d1);  
46.     }  
47.     return 0;  
48. }  

POJ1061

题目连接：http://poj.org/problem?id=1061

题意：两只青蛙跳了t步，A的坐标为x+m*t，B的坐标为y+n*t，他们相遇的条件为：x+m*t-y-n*t=p*L，即得到：（n-m）*t+L*p=（x-y）

这时求最小的t就是解一次同余方程（n-m）*t+L*p=（x-y）的最小整数解

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1. #include<cstdio>  
2. #include<algorithm>  
3. #include<iostream>  
4. #include<cmath>  
5. using namespace std;  
6.   
7. long long gcd(long long a,long long b)  
8. {  
9.     if(!b)return a;  
10.     else return gcd(b,a%b);  
11. }  
12.   
13. void ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)  
14. {  
15.     if(b==0)  
16.     {  
17.         x=1;  
18.         y=0;  
19.         return ;  
20.     }  
21.     ex_gcd(b,a%b,x,y);  
22.     long long t=x;  
23.     x=y;  
24.     y=t-a/b*y;  
25. }  
26.   
27. int main()  
28. {  
29.     long long x,y,m,n,l;  
30.     long long k1,k2;  
31.     long long t;  
32.     long long a,b,c,g;  
33.     while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)  
34.     {  
35.         a=n-m;  
36.         b=l;  
37.         c=x-y;  
38.         g=gcd(a,b);  
39.         if(c%g)  
40.         {  
41.             cout<<"Impossible"<<endl;  
42.             continue;  
43.         }  
44.         a=a/g;  
45.         b=b/g;  
46.         c=c/g;  
47.         ex_gcd(a,b,k1,k2);  
48.         t=c*k1/b;  
49.         k1=c*k1-b*t;  
50.         if(k1<0)  
51.         k1+=b;  
52.         cout<<k1<<endl;  
53.     }  
54.     return 0;  
55. }  

扩展欧几里得算法应用比较广泛，很多算法都用到了它，比如说同余问题等等

欧几里得算法比较适合于__int64范围内数，但是对于很大的数就不适合了，在这儿介绍一种适合大数的求最大公约数的算法，它的名字就是Stein算法，它是对欧几里得算法的一种改进，适合超过64位的整数，它只有移位和加法操作，它的算法思想就是 

                                     gcd(a,a)=a,  gcd(k*a,k*b)=k*gcd(a,b)

                                     当k与b互素时，gcd(k*a,b)=gcd(a,b);

算法步骤：

1、如果a=b,那么a或者b是最大公约数，算法结束

2、如果a=0，b是最大公约数，算法结束

3、如果b=0，a是最大公约数，算法结束

4、设置a[1]=a，b[1]=b和c[1]=1

5、如果a[n]和b[n]都是偶数，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]*2

6、如果a[n]是偶数，b[n]不是，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n],c[n+1]=c[n]

7、如果b[n]是偶数，a[n]不是，则a[n+1]=a[n],b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]

8、如果a[n]和b[n]都不是偶数，则a[n+1]=abs（a[n]-b[n]）/2,b[n+1]=min（a[n],b[n]）,c[n+1]=c[n]

9、n++,转到1

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1. #include<iostream>  
2. #include<cmath>  
3. #include<cstdio>  
4. #include<algorithm>  
5. using namespace std;  
6.   
7. __int64 Stein(__int64 a,__int64 b)  
8. {  
9.     if(a<b)swap(a,b);  
10.     if(b==0)return a;  
11.     if((a%2==0)&&(b%2==0))return 2*Stein(a/2,b/2);  
12.     if(a%2==0)return Stein(a/2,b);  
13.     if(b%2==0)return Stein(a,b/2);  
14.     return Stein((a-b)/2,b);  
15. }  
16.   
17. int main()  
18. {  
19.     __int64 a,b;  
20.     while(cin>>a>>b)  
21.     {  
22.         cout<<Stein(a,b)<<endl;  
23.     }  
24.     return 0;  
25. }  

ex_gcd()---表示扩展欧几里得算法

gcd()---表示最大公约数，常用方法是欧几里得算法

定义1：a和b是两个不全为0的整数，称a与b的公因子中最大的为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)来表示。

定义2：a和b是两个非0的整数，称a与b的公倍数中最小的为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)来表示。

最小公倍数与最大公约数之间的性质：

    1、若a|m,b|m,那么lcm(a,b)|m

    2、若d|a，d|b，则d|gcd(a,b)

    3、lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b

   4、设m，a，b是正整数，则lcm(ma,mb)=m*gcd(a,b)

   5、若m是非0整数，a1,a2……an的公倍数，则lcm(a1,a2……an)|m

   6、整数a和b素因子分解成a=p1^(r1)*p2^(r2)……pn^(rn),b=p1^(s1)*p2^(s2)……pn^(sn),在这儿·pi是不同的素数

          gcd(a,b)=p1^min(r1,s1)*p2^min(r2,s2)*……pn^min(rn,sn)

          lcm(a,b)=p1^max(r1,s1)*p2^max(r2,s2)*……pn^max(rn,sn)

gcd的求解思路----辗转相除法

递归求解

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1. int gcd(int m,int n)  
2. {  
3.     if(n==0)  
4.     return m;  
5.     else  
6.     return gcd(n,m%n);  
7. }  

迭代求解

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 print ?

1. int gcd(int m,int n)  
2. {  
3.     int temp;  
4.     if(m<n)  
5.     {  
6.         swap(m,n);  
7.     }  
8.     while((temp=m%n)!=0)  
9.     {  
10.         m=n;  
11.         n=temp;  
12.     }  
13.     return n;  
14. }  

HDU1222

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1222

题意：假设步长是m 总长度是N, 这里首先我们计算出他们的周期，也就是最小公倍数，当过了这个周期，狼搜索的点肯定重复了！

因为狼每走一次肯定是搜索了一个点，搜索完n个点的时候，走的长度正好是这个周期，说明他没有重复的搜索了N个点！这就转化到gcd

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cmath>  
4. #include<cstring>  
5. #include<algorithm>  
6. using namespace std;  
7. /* 
8. int gcd(int m,int n) 
9. { 
10.     int temp; 
11.     if(m<n) 
12.     { 
13.         swap(m,n); 
14.     } 
15.     while((temp=m%n)!=0) 
16.     { 
17.         m=n; 
18.         n=temp; 
19.     } 
20.     return n; 
21. } 
22. */  
23. int gcd(int m,int n)  
24. {  
25.     if(n==0)  
26.     return m;  
27.     else  
28.     return gcd(n,m%n);  
29. }  
30. int main()  
31. {  
32.     int m,n;  
33.     int T;  
34.     scanf("%d",&T);  
35.     while(T--)  
36.     {  
37.         scanf("%d%d",&m,&n);  
38.         if(gcd(m,n)==1)  
39.         printf("NO\n");  
40.         else  
41.         printf("YES\n");  
42.     }  
43.     return 0;  
44. }  

HDU1108

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1108

题意：很简单，就是求最小公倍数，利用性质3就可以

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cstring>  
4. #include<cmath>  
5. using namespace std;  
6.   
7. int gcd(int a,int b)  
8. {  
9.     if(b==0)  
10.     return a;  
11.     else  
12.     return gcd(b,a%b);  
13. }  
14.   
15. int main()  
16. {  
17.     int a,b;  
18.     int k;  
19.     while(cin>>a>>b)  
20.     {  
21.         k=a*b/gcd(a,b);  
22.         cout<<k<<endl;  
23.     }  
24.     return 0;  
25. }  

扩展欧几里得算法：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的 欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

在通过循环就可以写出代码

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 print ?

1. long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.     {  
5.         x=1;  
6.         y=0;  
7.         return a;  
8.     }  
9.     long long r=ex_gcd(b,a%b,x,y);  
10.     long long t=x;  
11.     x=y;  
12.     y=t-a/b*y;  
13.     return r;  
14. }  

HDU4180

题目连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4180

题意： 给出分数(a/b)求另一个分数(c/d){d < b),且满足fabs(a/b - c/d)最小。 ab互质时 最小时满足 bc+1 = ad || bc = ad+1，正符合扩展欧几里得。求出两个d后比较。 

[cpp]  view plain  copy

 print ?

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. using namespace std;  
4. int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)  
5. {  
6.     if(b==0)  
7.     {  
8.         x=1;  
9.         y=0;  
10.         return a;  
11.     }  
12.     int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);  
13.     int t=x;  
14.     x=y;  
15.     y=t-a/b*y;  
16.     return r;  
17. }  
18. int main()  
19. {  
20.     int t;  
21.     cin>>t;  
22.     int a,b;  
23.     int x,y;  
24.     while(t--)  
25.     {  
26.         scanf("%d/%d",&a,&b);  
27.         int gcd=ex_gcd(a,b,x,y);  
28.         if(gcd!=1)  
29.         {  
30.             printf("%d/%d\n",a/gcd,b/gcd);  
31.             continue;//这儿必须要写啊 不然会wa的  
32.         }  
33.         if(a==1)  
34.         {  
35.             printf("%d/%d\n",a,b-1);  
36.             continue;  
37.         }  
38.         int c1=(-y+a)%a;  
39.         int c2=(y+a)%a;  
40.         int d1=(x+b)%b;  
41.         int d2=(-x+b)%b;  
42.         if(d1<d2)  
43.             printf("%d/%d\n",c2,d2);  
44.         else  
45.             printf("%d/%d\n",c1,d1);  
46.     }  
47.     return 0;  
48. }  

POJ1061

题目连接：http://poj.org/problem?id=1061

题意：两只青蛙跳了t步，A的坐标为x+m*t，B的坐标为y+n*t，他们相遇的条件为：x+m*t-y-n*t=p*L，即得到：（n-m）*t+L*p=（x-y）

这时求最小的t就是解一次同余方程（n-m）*t+L*p=（x-y）的最小整数解

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1. #include<cstdio>  
2. #include<algorithm>  
3. #include<iostream>  
4. #include<cmath>  
5. using namespace std;  
6.   
7. long long gcd(long long a,long long b)  
8. {  
9.     if(!b)return a;  
10.     else return gcd(b,a%b);  
11. }  
12.   
13. void ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)  
14. {  
15.     if(b==0)  
16.     {  
17.         x=1;  
18.         y=0;  
19.         return ;  
20.     }  
21.     ex_gcd(b,a%b,x,y);  
22.     long long t=x;  
23.     x=y;  
24.     y=t-a/b*y;  
25. }  
26.   
27. int main()  
28. {  
29.     long long x,y,m,n,l;  
30.     long long k1,k2;  
31.     long long t;  
32.     long long a,b,c,g;  
33.     while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)  
34.     {  
35.         a=n-m;  
36.         b=l;  
37.         c=x-y;  
38.         g=gcd(a,b);  
39.         if(c%g)  
40.         {  
41.             cout<<"Impossible"<<endl;  
42.             continue;  
43.         }  
44.         a=a/g;  
45.         b=b/g;  
46.         c=c/g;  
47.         ex_gcd(a,b,k1,k2);  
48.         t=c*k1/b;  
49.         k1=c*k1-b*t;  
50.         if(k1<0)  
51.         k1+=b;  
52.         cout<<k1<<endl;  
53.     }  
54.     return 0;  
55. }  

扩展欧几里得算法应用比较广泛，很多算法都用到了它，比如说同余问题等等

欧几里得算法比较适合于__int64范围内数，但是对于很大的数就不适合了，在这儿介绍一种适合大数的求最大公约数的算法，它的名字就是Stein算法，它是对欧几里得算法的一种改进，适合超过64位的整数，它只有移位和加法操作，它的算法思想就是 

                                     gcd(a,a)=a,  gcd(k*a,k*b)=k*gcd(a,b)

                                     当k与b互素时，gcd(k*a,b)=gcd(a,b);

算法步骤：

1、如果a=b,那么a或者b是最大公约数，算法结束

2、如果a=0，b是最大公约数，算法结束

3、如果b=0，a是最大公约数，算法结束

4、设置a[1]=a，b[1]=b和c[1]=1

5、如果a[n]和b[n]都是偶数，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]*2

6、如果a[n]是偶数，b[n]不是，则a[n+1]=a[n]/2,b[n+1]=b[n],c[n+1]=c[n]

7、如果b[n]是偶数，a[n]不是，则a[n+1]=a[n],b[n+1]=b[n]/2,c[n+1]=c[n]

8、如果a[n]和b[n]都不是偶数，则a[n+1]=abs（a[n]-b[n]）/2,b[n+1]=min（a[n],b[n]）,c[n+1]=c[n]

9、n++,转到1

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1. #include<iostream>  
2. #include<cmath>  
3. #include<cstdio>  
4. #include<algorithm>  
5. using namespace std;  
6.   
7. __int64 Stein(__int64 a,__int64 b)  
8. {  
9.     if(a<b)swap(a,b);  
10.     if(b==0)return a;  
11.     if((a%2==0)&&(b%2==0))return 2*Stein(a/2,b/2);  
12.     if(a%2==0)return Stein(a/2,b);  
13.     if(b%2==0)return Stein(a,b/2);  
14.     return Stein((a-b)/2,b);  
15. }  
16.   
17. int main()  
18. {  
19.     __int64 a,b;  
20.     while(cin>>a>>b)  
21.     {  
22.         cout<<Stein(a,b)<<endl;  
23.     }  
24.     return 0;  
25. }