单源最短路径问题
如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径各边上的权值总和达到最小。
Dijkstra算法由来
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
算法的具体思想
辅助数组
①采用一个path[]数组来存储路径：path[a] = b 表示最短路径中顶点a的上一顶点为b；
②采用一个info[]数组来存储各个顶点到源点的最短距离，同时此数组也有着标记的作用，即info[x]=0时，表示x顶点已经在路径中。
具体流程
①初始化辅助数组，确定源点(orign)
②使用图中的结构来对辅助数组中的最短距离进行更新：
Ⅰ、对于能到达的点：info[x] = map[orign][x]；并且将这些点的前置点设为源点：path[x]=orign
Ⅱ、对于不能到达的点：info[x] = ∞
③定位info数组中权值最小（除0，0表示已加入）的点(min)，取出最小权值minInfo，将该点加入路径，设置info[min]=0，并根据min顶点，对辅助数组中未加入的顶点进行更新：
若minInfo+map[min][x] < info[x]，则使得info[x] = minInfo+map[min][x]，并将路径中x顶点的前置顶点设置为min顶点
Ps：此步可将minInfo对应的权值大小进行存储，即源点到该点的最短路径长度。
④重复操作步骤③，直至所有顶点最短路径都得出，即数组info[]所有值都为零
输出路径
在path[]数组中存储着路径的具体信息：最短路径中当前顶点的前置路径
可使用栈的特性将其中数据取出来：
path[] = dijkstra(sMap, 1);
int end = 5;
//借助栈的特性
int stack[] = new int[sMap.num];
int top = 0;
end--; //从零开始
while(end != -1) {
stack[top++] = end;
end = path[end];
}
System.out.print(stack[--top]+1);
while(top > 0) {
//位置比索引大一
System.out.print("---->"+(stack[--top]+1));
}
代码实现
/**
* 得出最小路径表
* @param map 用二维数组存储的图结构
* @return 路径数组
*/
public static int[] dijkstra(SimpleMap sMap,int first) {
//路径数组
int[] path = new int[sMap.num];
//标记与权值数组(权值为0，表示已加入路径)
int[] markAndInfo = new int[sMap.num];
//辅助数组初始化
for(int i=0; i<sMap.num; i++) {
path[i] = -1;
markAndInfo[i]= CreateAMap.MAX;
}
//定位初始位置(从零开始）
first = first-1;
for(int j=0; j<sMap.num; j++) {
if(j != first) {
path[j] = first;
}
markAndInfo[j]= sMap.map[first][j];
}
//已经加入到路径的顶点
int judge = 1;
while(judge < sMap.num) {
//从权值数组中找出最小的的值
int index = 0;
int min = CreateAMap.MAX;
for(int i=0; i<sMap.num; i++) {
//需判断当前点是否已经在路径中
if(markAndInfo[i] != 0 && markAndInfo[i] < min) {
index = i;
min = markAndInfo[i];
}
}
//更新权值数组以及路径数组
markAndInfo[index] = 0;
for (int i = 0; i < sMap.num; i++) {
if(markAndInfo[i] !=0 && min+sMap.map[index][i] < markAndInfo[i]) {
markAndInfo[i] = min+sMap.map[index][i];
path[i] = index;
}
}
judge++;
}
return path;
}
测试图及其结果：
源点为1，终点为5：
