平衡二叉树的判断和优化

1、二叉树的最大高度

• 分析：二叉树的高度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
• 思路：比较根结点的左右子树的最大高度 + 1(到根结点的高度)；递到叶子结点那一层把高度依次返回给双亲结点，直到根根结点。
  递推关系：而每一个结点的左子树高度都等于下一个结点的左子树高度+1(右子树那一路递归同理)
递归出口：递到最左子树为null

	public int maxDepth(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        int left = maxDepth(root.left);
        int right = maxDepth(root.right);
        return 1+Math.max(left,right);
    }

2、判断一棵二叉树是否为平衡二叉树

平衡二叉树：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1

• 分析：
  1、分别求出每个结点的左右子树的高度(如 1)
  2、判断所有结点的左右子树高度差是否满足平衡条件，递归问题。
  递推关系：遍历到每一个结点，求每一个结点的左右子树是否平衡
终止条件：遍历到结点为 null
• 思路：
  1、求出当前结点的左右子树的高度
  int leftHeight = getHeight(root.left)
int rightHeight = getHeight(root.right)
  2、判断当前结点的左右子树的绝对值
  Math.abs(leftHeight,rightHeight)>2 return false
Math.abs(leftHeight,rightHeight)<2 判断当前结点左右子树是否平衡(左右的高度差)

源代码：

	public boolean isBalanced(TreeNode root) {
         if(root == null) {
             return true;
         }
       int leftHeight = getHeight(root.left);
       int rightHeight = getHeight(root.right);
           if(Math.abs(rightHeight - leftHeight) > 1) {
               return false;
           }
         return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
     }

     private int getHeight(TreeNode root) {
         if (root == null) {
             return 0;
         }
         return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
     }

这里存在一个效率问题，在判断根结点的时候，左右子树上每一个结点的高度已经求解过，当再求子树是否平衡的时候还需要再求一遍子树每个结点是否平衡

N个结点最坏时间复杂度就是 O(n^2)

优化：在求解当前结点的高度时,一定会递下去求子树高度,既然每次求当前结点高度都会求到子树的高度，那么有没有办法在求当前结点的时候把子树的平衡性直接判断。

思路：

• 通过一个参数将高度的判断结果带出来
• 判断子树平衡性，发现有一例 左/右子树高度差 ＞ 1 的情况时，代表此树不是平衡树，返回-1；
• 在递的过程求当前结点的高度时，归的时候就会把当前结点以下所有结点情况判断了
• 一旦发现不是平衡树时，后面高度计算都无意义了，一路直接返回-1，避免后续再计算。
  最差情况是对树做一遍完整DFS，时间复杂度为 O(N)
  递归过程中：
  终止条件：当DFS越过叶子节点时，返回高度0；
  返回值：从底至顶，返回以每个节点root为根节点的子树最大高度 max(left,right) + 1)；

 public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        return getHeight(root) != -1;
    }

    private int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
        	return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        if(leftHeight == -1) {
        	return -1;
        }
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        if(rightHeight == -1) {
        	return -1;
        }
        return Math.abs(leftHeight - rightHeight) < 2 ? 
        Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1 : -1;
    }