软件构造心得（3）求凸包（ConvexHull）的若干种方法

点集Q的凸包（ConvexHull）就是一个最小的凸多边形，满足Q中的每个点都在P的边界上或者在P的内部。我们常常用CH(Q)来表示点集Q的凸包。（CH即convex hull的缩写）得到的输出一般来讲都是按照逆时针顺序输出的凸包的各个顶点。
首先从算法角度审视一下这个问题吧，这个问题的时间复杂度得下界到底是多少呢

我们使用规约法，首先将排序问题归约到求凸包的问题，即通过映射将序列x₁,x₂,x₃…x_n,变成凸包中的点（x₁,x₁²）,(x₂,x₂²)…(x_n,x_n²)
从序列规约到点集，只需要对每一个数据做平方操作，总体时间复杂度为O（n）。而由于凸包求解出的数据是按照顺/逆时针输出的，所以，从凸包求解好的问题得到排序复杂度也是O（n）
我们已经知道了排序算法的时间复杂度的下界是Θ（nlogn），所以可以得到凸包算法的复杂度下界一定是高于排序的，也就也是Θ（nlogn）

这里面介绍两种算法

1、Graham扫描法

基本思想：通过设置一个关于候选点的堆栈s来解决凸包问题。

操作：输入集合Q中的每一个点都被压入栈一次，非CH（Q）(表示Q的凸包)中的顶点的点最终将被弹出堆栈，当算法终止时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为个各顶点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

注：下列过程要求|Q|>=3，它调用函数TOP（S）返回处于堆栈S 顶部的点，并调用函数NEXT-TO –TOP（S）返回处于堆栈顶部下面的那个点。但不改变堆栈的结构。

GRAHAM-SCAN(Q)
1 设P₀ 是Q 中Y 坐标最小的点，如果有多个这样的点则取最左边的点作为P₀；
2 设< P₁,P₂,……,P_m >是Q 中剩余的点，对其按逆时针方向相对P0 的极角进行排序，如果有数个点有相同的极角，则去掉其余的点，只留下一个与P0 距离最远的那个点；
3 PUSH(p₀ , S)
4 PUSH(p₁ , S)
5 PUSH(p₃ , S)
6 for i ← 3 to m
7 do while 由点NEXT-TOP-TOP（S），TOP（S）和Pi 所形成的角形成一次非左转
8 do POP(S)
9 PUSH(p_i , S)
10 return S

图解如下

2、Jarvis March算法，又称gift wrapping算法

概述：也可称为卷包裹法，思路是先找到一个在凸包上的点，然后卷过去，由于每次确定凸包上的一个点需要遍历所有的点，因此时间复杂度为O（N*H），其中N为全部点的数目，H为凸包上的点数目；
方法和步骤：（下述采用固定两点的方式）

（1）找到位于最低最左边的点p0，最高最右边的点pk，则此两点必为凸包上的点；

（2）对逆时针方向排列的顶点序列按p0pk构造右链，左链；

（3）右链构造：设定一个栈，先将p0入栈，对其他的点依据相对于栈顶元素的最小极角，并距离最远的点入栈，左链同理；

（4）核心：如何求相对于栈顶元素的最小极角？

设pk为最高点，p0位栈顶元素；

只要栈顶元素不是pk，循环做以下工作：

      pm=pk;
      for(int i=0;i<n;i++)//依次考查其他的点p[i]，是否有相对于p[top]的最小极角
                if((p[top]p[i]×p[top]pm>0)
                            pm=p[i];
      经过上述一次遍历，得到的pm为相对于当前p[top]的具有最小极角的顶点，即右链中连接p[top]的下一个凸包的顶点；

左链同理，即可实现