TT's Magic Cat（差分模版题）

问题描述

给定数组a，给定操作q个操作： $l,r,c$，代表将a数组从 $a[l]$到 $a[r]$全部加上c，问q个操作后a数组的结果

Input

第一行输入n和q $(1\le n,q\le 2\times 10^5)$，代表数组有n个元素，q个操作
第二行输入数组a，其中 $-10^6\le a_i\le 10^6$。
后面q行，每行输入三个数字 $l,r,c(1\le l,r\le n,-10^5\le c\le 10^5)$。

Output

输出a数组，中间用空格隔开

Sample input

4 2
-3 6 8 4
4 4 -2
3 3 1

Sample output

-3 6 9 2

解题思路

分析

首先肯定不能用暴力来做，不超时才有鬼。
对于处理一个数组，将其区间+或-某个数的时候，有两种方法：线段树或者差分。

差分更新的时间复杂度是 $O(1)$，查询的时间复杂度是 $O(n)$。
线段树更新的时间复杂度是 $O(logn)$，查询的时间复杂度也是 $O(logn)$。

因此这道多次更新，最后一次查询的题，应该是使用差分来做。

差分介绍

差分数组就是存储相邻两个数的差，对于数组 $a[1\cdots n]$，其差分数组b的计算公式是：

$b[1]=a[1],b[i]=a[i]-a[i-1](i>1)$

将其转化为原数组的方法就是求前缀和，即 $\sum_{i=1}^{j}{b[j]}=a[j]$。

可见，差分数组存储的是原数组的差。那这东西有什么用呢？

我们先假设存在a数组与差分数组b如下：

数组	1	2	3	4	5
a	5	2	3	1	4
b	5	-3	1	-2	3

我们对于a数组区间 $[l,r]$上的操作，可以转化为对其差分数组b中 $b[l]$和 $b[r+1]$的操作。如，对区间 $[2,4]$上的所有元素+3，可以转化为 $b[2]+3,b[5]-3$，a数组和b数组更改后如下所示：

数组	1	2	3	4	5
a	5	5	6	4	4
b	5	0	1	-2	6

此时的b数组仍然是更改后a数组的差分，所以， $a[l\cdots r]+c$ 等价于 $b[l]+c,b[r+1]-c$。

这样，每次对区间的操作，都可以转化为对b数组两个点的操作，大大提升了更新效率。最后将b求前缀和就可以得到操作完成的a数组。

差分的原理

那为什么可以样操作呢？关键在于最后b数组转化为a数组的过程是一个求前缀和的过程。

如果我们将b数组中 $b[l]+c$，那么从 $l$开始向后的所有元素，在求前缀和的时候，都将这个c加进去了，所以结果就是区间 $[l,n]$都加上了c。

我们将 $b[r+1]-c$，那么从 $r+1$开始，向后的所有元素在求前缀和的时候，都经历了一个 $+c$后又 $-c$的过程，也就是没有变化。

经过上面两个操作，我们相当于将 $a[l]$到 $a[r]$之间到所有元素都加上了c。

完整代码

//#pragma GCC optimize(2)//比赛禁止使用！
//#pragma G++ optimize(2)
//#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=200000+10;
int n,q,a[maxn],b[maxn];
//a是原始数据，b是差分数组
int getint()
{
    int x=0,s=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') s=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*s;
}
int main()
{
    n=getint(); q=getint();
    for (int i=1; i<=n; i++)
        a[i]=getint();
    for (int i=1; i<=n; i++)//求差分
        b[i]=a[i]-a[i-1];
    for (int i=1; i<=q; i++)
    {
        int l=getint(),r=getint(),c=getint();
        b[l]+=c; b[r+1]-=c;
    }
    long long ans=0;
    for (int i=1; i<=n; i++)//前缀和将差分转换回去
    {
        ans+=b[i];
        printf("%lld ",ans);
    }
    putchar('\n');

    return 0;
}