【2016-2017NEERC- gym101142-I. Integral Polygons】计算几何+计数

Integral Polygons

题目链接：

https://codeforc.es/gym/101142

Description

Input

Output

Sample Input

5
7 3
3 5
1 4
2 1
5 0

Sample Output

3

题意

给你一个凸多边形，现在要在某两个点之间画一条线段把凸多边形分成两部分。

问有多少种方案使得分成的两部分面积都是整数。

题解

首先如果用叉积的方法求面积，可以看出面积只有整数和.5两种形式，如果我们在计算的时候整体*2,那么面积只有奇数偶数两种。

我们现在问题就变为对于一个点来说，和之前的点连边形成的面积是偶数的方案数。

如果设 $pre[i]$为从1开始进行叉积到i的和,设 $mul(i,j)$为两个点的叉积值。

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那么对于某个点j来说，他可以和某个点i连边的条件是从i叉积到j加上 $mul(i,j)$的值为偶数。

也就是 $pre[i]$ ^ $pre[j]$ ^ $mul[i][j]$.而 $mul[i][j]$的结果只和i,j坐标的奇偶性有关。

所以我们只要用一个数组 $cnt[i][j][k]$记录前缀叉积奇偶性为i，横坐标奇偶性为j，纵坐标奇偶性为k的点的个数。

之后每个点暴力枚举横纵坐标奇偶性进行转移即可。

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl
#define dbg2(x,x2) cout<<#x<<" = "<<x<<" "<<#x2<<" = "<<x2<<endl
#define dbg3(x,x2,x3) cout<<#x<<" = "<<x<<" "<<#x2<<" = "<<x2<<" "<<#x3<<" = "<<x3<<endl
const int maxn =2e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int x[maxn],y[maxn];
int res[2][2][2];
int main()
{
    freopen("integral.in","r",stdin);
    freopen("integral.out","w",stdout);
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
        x[i]%=2;if(x[i]<0) x[i]+=2;
        y[i]%=2;if(y[i]<0) y[i]+=2;
    }
    ll ans=0;
    x[0]=x[n],y[0]=y[n];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=(ans+((x[i-1]*y[i]-x[i]*y[i-1]%2+2)%2))%2;
    }
    if(ans&1) return 0*puts("0");
    int sum=0;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=(sum+((x[i-1]*y[i]+x[i]*y[i-1]+2)%2))%2;
        for(int j=0;j<2;j++)
        {
            for(int k=0;k<2;k++)
            {
                int tmp=(j*y[i]+x[i]*k+2)%2;
                ans=ans+res[j][k][sum^tmp];
            }
        }
        res[x[i]][y[i]][sum]++;
    }
    printf("%lld\n",ans-n);
    return 0;
}