正文
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。
1 基本定义
1.1 定积分
对于一个给定的正实值函数 \(f(x)\)，\(f(x)\) 在一个实数区间 \([a,b]\) 上的定积分
\[ \int_a^b f(x)\, dx \]
可以在数值上理解为在 \(O_{xy}\) 坐标平面上，由曲线 \((x, f(x))（x\in [a,b]）\)，直线 \(x=a\)， \(x=b\) 以及X轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
其中的 \(\mathrm{d}x\) 称为积分变量，表示要求面积的范围是用坐标轴横轴的刻度计算； \(\int_a^b\) 则表示从a开始算起，到b为止，称为积分范围或积分域，其中a称为积分下界，b称为积分上界，\(\int\) 叫做积分号，是从拉长的字母S（拉丁文中的summa (ſumma)：求和的首字母）演变过来的。函数 \(f(x)\) 写在中间，称为被积函数。
1.2 不定积分
\(f(x)\) 的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函数 \(f(x)\) 的函数 \(F(x)\)。一个函数 \(f(x)\) 的不定积分不是唯一的：只要 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的不定积分，那么与之相差一个常数的函数 \(F(x)+C\) 也是 \(f(x)\) 的不定积分。
无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。
1.3 黎曼积分
在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
黎曼积分的基本概念就是对 x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 S 的面积（如下图） 。
1.3.1 区间的分割
一个闭区间 \([a,b]\) 的一个分割 \(P\) 是指在此区间中取一个有限的点列 \(a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b\)。每个闭区间 \([x_{i},x_{i+1}]\) 叫做一个子区间。定义 \(\lambda\) 为这些子区间长度的最大值：\(\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})\)，其中 \(0\leq i\leq n-1\)。
一个闭区间 \([a,b]\) 的一个取样分割是指在进行分割后，于每一个子区间中取出一点 \(x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}\)。
1.3.2 黎曼和
对一个在闭区间 \([a,b]\) 有定义的实值函数 \(f\)，\(f\) 关于取样分割 \(x_{0}, \cdots, x_{n}\)、\(t_{0}, \cdots, t_{n-1}\) 的黎曼和（积分和）定义为以下和式：
\[ \sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}) \]
和式中的每一项是子区间长度 \(x_{i+1}-x_{i}\) 与在 \(t_{i}\) 处的函数值 \(f(t_{i})\) 的乘积。直观地说，就是以标记点 \(t_{i}\) 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。