不完整！！！！！！ JC4 图论初步1 笔记

•  本节课程非常的重要，是图论的基础与入门部分。这节课将会影响下一节图论课的效果，所以请务必认真听讲
• 听讲 + 大量的巩固练习非常重要

图的初步（主要内容）　　　　　　　　　　数论初步（可以归为数据结构一块）

•  图的概念　　                                       ·  树是什么
•  图的存储                                             ·  树（二叉树）的简单性质
•  图的遍历                                             ·  树（二叉树）的存储
•  简单图论问题与图论应用                    　  ·  树（二叉树）的遍历
•                                                          ·  简单树论问题与应用

一、图论简介——图是什么

1.  图：表示物与物之间关系的方法
2.  图论：以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法
3.  一般是 n 个点，m 条边
4.  边的方向：
   •  无向图：边双向连通（一种特殊的有向图，双向）
   •  有向图：单向通行
5. 边权
6. 度：与此点相连边的数量
   •  入度：流入此点的边的数量
   •  出度：流出此点的边的数量
   •  出、入度一般都用于有向图

二、图的存储

　　图的存储——邻接矩阵

　　

　　    　　　　　　　　   

1.  邻接矩阵：用二维数组的方式存储一个图
2.  存储规则：若 a—>b，则 map[ a ][ b ] = ( a 到 b 的距离 或1 )，无法访问值为 -1 或 正无穷
3.  a—>a = 0 
4.  无向图：map[ a ][ b ] = map[ b ][ a ]
5.  空间复杂度 O(n²)   遍历一个点的时间复杂度 O(n)
6.  由于邻接矩阵时空复杂度较大，在多数情况下效率较低，尤其是当图比较稀疏（边数远没有达到点数平方）时。（例如有 1000 个点，但仅有 1000 条边时，为边开的空间大小是 1000*1000，就会很浪费）所以基本不用邻接矩阵。
   

    1 #inclu e <bits/stdc++.h>
    2 using namespace std;
    3 
    4 const int maxn=1005;  // 图的最大 点 数量
    5 int n;
    6 int v[maxn][maxn];
    7 
    8 int main()
    9 {
   10     cin>>n;
   11     
   12     // 读入邻接矩阵
   13     for(int i=1; i<=n; i_++)
   14         for(int j=1; j<=n; j++)
   15             cin>>v[i][j];
   16     
   17     // 下面的代码将找到与点 i 有直接连接的每一个点以及那条边的长度
   18     for(int i=1; i<=n; i++)
   19         for(int j=1; j<=n; j++)
   20             if(v[i][j]>0)
   21                 printf("edge from point %d to point %d with length %d\n", i, j, v[i][j]);
   22 
   23     return 0;
   24 }

   邻接矩阵

　　

　　图的存储——邻接表

　　　　

•  相对于邻接矩阵，进行了优化（只需哪两个点相连，便存这条边）
  

   1 #include <bits/stdc++.h>
   2 using namespace std;
   3 
   4 // edge 结构体 { to：边的终点；cost：边权}
   5 struct edge
   6 {
   7     int to, cost;
   8 };
   9 
  10 const int maxn=1005;
  11 int n, m;  // 表示图中有 n 个点，m 条边
  12 vector<edge> p[maxn];  // 建表，开动态数组 vector <edge> p[maxn];
  13 int w[maxn][maxn];
  14 
  15 int main()
  16 {
  17     cin>>n>>m;
  18 
  19     // 读入边 < u, v, l >：p[u].push_back((edge){v, l})
  20     for(int i=1; i<=m; i++){
  21         int u, v, l;
  22         cin>>u>>v>>l;
  23         p[u].push_back((edge){v, l});
  24         p[v].push_back((edge){u, l});  // 当用无向图的邻接表时需要加一条反方向的边
  25     }
  26 
  27     // 把邻接表转换为邻接矩阵
  28     for(int i=1; i<=n; i++)
  29         for(int j=1; j<=p[i].size(); j++)
  30             w[i][p[i][j].to] = p[i][j].cost;
  31 
  32     // 输出邻接矩阵
  33     for(int i=1; i<=n; i++){
  34         for(int j=1; j<=n; j++)
  35             cout<<w[i][j]<<' ';
  36         cout<<endl;
  37     }
  38 
  39     // u 的出度：p[u].size()
  40 
  41     return 0;
  42 }

  邻接表