Hile每日算法-3.29-分层建图

分层建图

首先来一道题，题意是这样的：

给定一张有向图（游戏地图），一对起点和终点，每个点代表一个城市，你从起点开车到终点，每次在两个城市间移动需要1h。每个点（城市）都有五种可能的情况：

1.该点没有任何道具；

2.该点有阻碍物需要停止1h；

3.到达该点时游戏失败（保证起点和终点不为3）；

4.该点有氮气，接下来连续两次移动速度加倍（倍数不可叠加，次数可以）；

5.该点有沙子，接下来连续两次移动速度减半（同上）；

求从起点到终点最快用时，如果不能到达终点输出-1.

分析题目，单源最短路径，很显然就该用 SPFA dijkstra算法。对于各类点，遇到1不管，2的话将该点的出边权值（用时）加一，3的话删除连接这个点的所有边。

但是，4和5两种情况怎么处理？怎么实现同一条边权值（用时）加倍和减半的操作，怎么让1、0.5、2三种边权同时存在于一条边上呢？

换个想法，与其纠结在一条边上进行的多次修改，不如把所有可能的权值都建立一条边，也就是说，分层建图。

（当然，这并不是什么算法，只是一种建图的技巧/思想。

就这题而言，可以将图分为三层，分别叫做G1G2G3，G1的边权都为1，G2都为0.5，G3都为2，初始在G1层的起点。对于每一个第四类点（氮气），我们可以向G3的同一点连一条无权边（权值为0），然后对于所有和该点距离在2以内的G3层点向G1连一条无权边，如图所示其中G1.1为氮气：

（今天刚学Graphiviz，画的太丑，暂时凑合着看吧）

同理，遇到第五类点作相同处理，这题就变成裸的dijkstra啦。

下面来做道题目体会一下：

bzoj2763: [JLOI2011]飞行路线

给出 $n$个点， $m$条边的无向图，一对起点和终点，给你 $k\ (k\le10)$次将当前边权变为 $0$的机会，求从起点到终点的最小代价。

由于 $k$比较小，我们可以用分层建图的思想建出 $k+1$层图，分别表示在各点已经使用了 $0,1...k$次机会的状态，各层之间转移的边权为 $0$，建完之后跑dij即可。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define PII pair<int,int>
#define N 10010
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[N*11];//用0~n-1,n~2n-1...kn~(k+1)n-1表示k+1层的点
vector<PII> G[N];//由于各层的连通情况都相同，只需对初始层建图，各层用对n取模访问
int n,m,k,s,t,d[N*11];
void dijkstra(int s)
{
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > pq;
    pq.push(make_pair(0,s));
    d[s]=0;
    while(!pq.empty())
    {
        int u=pq.top().second;pq.pop();
        if(vis[u])continue;vis[u]=1;
        for(int it=0;it<G[u%n].size();it++)//QAQ，bzoj不能for(auto:G)
        {
            PII i=G[u%n][it];
            int v=i.second+u-u%n;
            if(d[u]+i.first<d[v])//正常松弛
            {
                d[v]=d[u]+i.first;
                pq.push(make_pair(d[v],v));
            }
            if(v+n<(k+1)*n&&d[v+n]>d[u])//到下一层
            {
                d[v+n]=d[u];
                pq.push(make_pair(d[v+n],v+n));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        G[u].push_back(make_pair(w,v));
        G[v].push_back(make_pair(w,u));
    }
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    dijkstra(s);
    printf("%d",d[k*n+t]);
}