得到质数序列如何判断一个数是否为质数&得到质数序列

Chely 的博客

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如何判断一个数是否为质数&得到质数序列

2016年09月12日 00:09:37

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素数的定义是：只能被1和本身整除而不能被其他数整除。（好了好了，这个初中生都知道……）

判断一个数n是不是素数，最靠谱的方法就是用所有小于n的数来一个一个检测是不是能被n整除。不过稍微聪明一点的办法是只要用小于`k = floor（sqrt(n)）//取不大于n的平方根的最大整数`的数来检测就可以了。原因如下：k^2 < n，而（k+1)^2 > n，假设是 k(k+1) = n，但是这个时候只要用k检测过就可以判断是不是为质数了，不需要用k+1。同样如果是k(k+2)，k(k+3)一样的。

函数代码如下：

public static boolean isPrime(int a) {  
        if (a <= 2) 
            return false;  
        else {  
            int max =  (int) Math.floor( Math.sqrt(n)); 
            for (int i = 2; i <= max; i++) 
                if (a % i == 0) // 若能被整除，则说明不是素数，返回false  
                    return false;   
        }  
        return true;  
    }

以上这种方法对于不是很大的数字来说没有问题，但如果是一个很大的数字，计算时间就太长了。比如加密解密程序中，往往需要一个100位的大数，对于大数判断是否为素数，推荐Miller Rabin算法。这个算法的核心思想是：如果p是素数，x是小于p的正整数，且x^2 mod p = 1，那么要么x=1，要么x=p-1。有兴趣的话建议自行Google，会有相关算法解释，因为还是比较复杂的，涉及到费马小定理、快速幂模算法之类的，加上博主本人数学也没有好到哪去，所以先不说咯~

得到一个小于n的所有质数序列，常用的方法是埃拉托色尼检测法（Eratosthenes）。其原理是：从第一个最小的数k开始作为因子来检测，从k^2开始进行判断，这是因为，k(k-1)、k(k-2)、……、2k一定都经过了之前数字的检测！并且每次被检测数字的跨度是k。k^2之后的数字中可以被其整除的就不是素数，剔除。检测到 `floor（sqrt(n)）`就可以停止，理由同上，因为每次要从k^2开始检测。所以循环结束的条件是`k^2 > n`。

举个例子：

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

第一次用2来测试，从4开始检测，结果如下：

2 3 5 7 9 11 13 15 17

第二次用3来测试，从9开始检测，结果如下：

2 3 5 7 11 13 17

此时应该用5来测试，但是由于5^2 = 25 > 17，所以结束。

下面附上函数代码块的Java实现（用了ArrayList，便于删除）：

//产生不大于n的连续质数序列
    public static ArrayList<Integer>  eratosthenes( int n){
        ArrayList<Integer> array = new ArrayList<Integer>();
        for(int i = 2; i < n; i ++)
            array.add(i);
        //最多只要计算到n的平方根即可，因为2p,....,(p-1)p都已经在之前测试过了
        int max =  (int) Math.floor( Math.sqrt(n)); 
        for(int p= 2;  p < max; p ++){
            Integer j = p * p;
            while( j < n ){
                if( j % p == 0)
                    array.remove( j );
                j = j +p; 
            }
        }
        return array;
    }