Java数据结构与算法——穷举法

一、穷举法

穷举算法，依赖计算机强大的计算能力，来穷举每一种可能的情况，以达到解决问题的目的，也叫枚举法、暴力破解法。

基本思想———逐一列举问题所涉及的所有情形，并根据问题提出的条件进行检验从而找到可能的解 。

方法步骤———确定枚举对象、枚举范围、判断条件；循环验证每一个解。

二、案例

案例一——队伍名次

甲 、乙、丙 三位球迷分别预测进入半决赛的四队A、B、C、D的名次如下：
甲：A 第一名 、B 第二名
乙：C 第一名 、D 第三名
丙：D第一名 、 A 第三名
设比赛结果，四队互不相同，并且甲乙丙的预测各对一半，求A、B、C、D队的名次？

令变量 a，b，c，d 分别为四个名次。甲乙丙的预测各对一半，即两个预测结果只有一个成立。以甲的预测为例，即（a == 1）&&（b != 2）|| （a != 1）&&（b == 2）。

代码如下：

public class teamRanking {
	
	public static void main(String[] args) {
		int a, b, c, d;
		boolean t;
		// 循环，列出所有的可能
		for (a = 1; a <= 4; a++) {
			for (b = 1; b <= 4; b++) {
				if(a == b)// 如果两队名次相同，跳出本次循环
					continue;
				for (c = 0; c <= 4; c++) {
					if(c == a || c == b)// 如果两队名次相同，跳出本次循环
						continue;
					d = 10 - a - b -c;// 四个队，名次之和为10
					// 甲乙丙的预测
					t = (a == 1 && b != 2 || a != 1 && b == 2) &&
						(c == 1 && d != 3 || c != 1 && d == 3) && 
						(d == 1 && a != 3 || d != 1 && a == 3);
					if(t){
						System.out.println("四队的名次为：");
						System.out.println("A=" + a + ", B=" + b +
								", C=" + c  + ", D=" + d);
					}
				}
			}
		}
	}

}

测试结果：

四队的名次为：
A=3, B=2, C=1, D=4

案例二——鸡兔同笼

问题：一个笼子有35个头，94只脚，问鸡和兔各有多少？

分析：设有鸡 x 只，兔 y 只，则有 x + y = 35 和 2x + 4y = 94。由 x + y = 35 可知 x、y 的定义域分别为 $x \in [0,35],y \in[0,35]$。

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可以直接以两个定义域建立循环进行计算，但 y 的定义域可以进行优化缩小。假设笼中全是兔子，则最多有 $94 \div 4 = 23$ 只，所以可将 y 优化为 $y \in[0,23]$。

代码如下：

public class chickenAndRabbit {

	public static void main(String[] args) {
		for (int x = 0; x <= 35; x++) {
			for (int y = 0; y <= 23; y++) {
				if (x + y == 35 && 2 * x + 4 * y == 94)
					System.out.println("x = " + x + ", y = " + y);
			}
		}
	}

}

测试结果：

x = 23, y = 12

案例三——水仙花数

水仙花数（Narcissistic number）是指一个三位数，其各位数字的立方和等于其本身。例如， $153 = 1^3 + 5^3 + 3^3$，所以 153 就是一个水仙花数。

使用穷举法，遍历 100 ~ 999 所有的三位数，用水仙花数的条件进行判断，从而选出水仙花数。

代码如下：

public class narcissisticNumber {
	
	public static void main(String[] args) {
		int number;
		int sum = 0;
		int i, j, k; // i j k 分别表示 number 的百位、十位、个位
		for (number = 100; number < 1000; number++) {
			i = number / 100;
			j = (number - i * 100) / 10;
			k = number - i * 100 - j * 10;
			sum = i * i * i + j * j * j + k * k * k;
			if (sum == number)
				System.out.println(number + " is a narcissistic number! ");
		}
	}

}

测试结果：

153 is a narcissistic number! 
370 is a narcissistic number! 
371 is a narcissistic number! 
407 is a narcissistic number!