超越扩域的超越维数

参考

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K.G. Ramanathan. Lectures on the Algebraic Theory of Fields

由于近期在理解伽罗瓦理论，关于五次以上的一般多项式方程的伽罗瓦群的计算中出现了超越扩张，让我对这样一个问题感兴趣：在扩域 $E/F$上有元素 $x_1, \cdots, x_n$，设
$t_1=\sum_ix_i, t_2= \sum_{i<j}x_ix_j,\cdots,t_n=\prod_ix_i$，如果 $t_1,\cdots,t_n$在 $F$上代数无关，那么 $x_1,\cdots, x_n$在 $F$上代数无关吗？

想了一段时间，发现这个其实就是要搞清楚（有限生成超越扩张的）超越基和超越维数的概念。

超越基

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一个扩张是超越的，如果它不是代数的。一个超越扩张 $E/F$的超越基B定义，与一个线性空间的基定义很类似，也是满足两点：

• B在 $F$上代数无关，即对于 $B$的任何非空有限子集 $B_0$，都不存在非零多项式 $f\in F[\mathbb{x}]$使得 $f(B_0)=0$
• B在 $F$上代数生成 $E$(模去代数扩张的基础上)，即 $E/F(B)$是代数扩张

同样地，我们有这样的结论：

• 任何 $F$上代数无关的集合 $A$可以扩张为一个超越基
• 任何 $E/F$的代数生成子集 $S$都可以收缩为一个超越基

而且这两边可以同时操作，如果 $A\subset S$的话。

• 超越基是极大代数无关子集
• 超越基是极小代数生成子集

证明过程和线性空间一样，都是使用Zorn引理。

超越维数

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同上，超越维数类比于线性空间的线性维数。要良好定义维数，就要证明任何两个超越基的基数是相等的。这里我们只处理有限生成的超越扩张。

定理 设 $B,B^\prime$为 $E/F$的两个超越基，如果 $|B|=n$，那么必定有 $|B^\prime|\leq n.$

证明 设 $B=\{x_1,\cdots,x_n\}$。取 $x_1^\prime\in B^\prime$，则 $B_1=B\cup \{x_1^\prime\}$代数相关，并且对应的多项式中一定包含 $x_1^\prime$。根据上面关于超越基的结论，我们可以得到 $B_1$的一个包含 $x_1^\prime$的子集为新的超越基。如此替换，假设 $|B^\prime|>n$，那么就会发现 $B^\prime$的一个真子集 $x_1^\prime, \cdots, x_n^\prime$也是超越基，这样一来 $B^\prime$就必定代数相关。

回到原问题上，考虑 $E=F(x_1,\cdots,x_n)$，因为 $x_1,\cdots,x_n$是 $F(t_1,\cdots,t_n)$上多项式 $x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n$的根，所以 $t_1,\cdots,t_n$为 $E/F$的超越基，从而超越维数为 $n$. 又因为 $x_1,\cdots,x_n$生成 $E$，数目为 $n$，所以必定也是超越基。