CodeForces - 1327D Infinite Path(图论综合)

题目链接：点击查看

题目大意：首先给出一个 1 ~ n 的排列，用 p 数组表示，再给出给个点的颜色，用 c 数组表示

然后抛出Infinite Path的定义：对于某个 i ，p[ i ] , p[ p[ i ] ] , p[ p[ p[ i ] ] ] 无限嵌套下去，且每个位置的颜色相同，即 c[ i ] = c[ p[ i ] ] = c[ p[ p[ i ] ] ] = c[ p[ p[ p[ i ] ] ] ] 等等等等

下面重载一下排列的乘法运算，假如 a 和 b 是 1 ~ n 的两个排列，那么 a * b = b[ a[ i ] ] ，a * a = a[ a [ i ] ] 

从而重载一下排列的乘方运算，p^k = p * p * p ... * p ( k 个 p )

题目要求我们找到一个最小的 k ，使得给出的排列 p 的 k 次方，存在一个 i ，可以满足上述的Infinite Path

题目分析：读完题后，不难想到如果想要找到Infinite Path的话，必然是一个循环，而 1 ~ n 的一个排列，如果转换为有向图的形式，可以视为数个不相交的有向环，之前做题记住的结论，忘记是怎么证明的了，这样就可以将给出的排列 p 以有向图的形式表示，接下来结合前几周离散数学新学到的知识（学以致用）

 可以将 p^k 这个抽象的概念具体化，简单来说，p^k 就是在 p 这个有向图中，经过长度为 k 的步长可以到达的关系

再换句话说，p^k 就是在环中将距离相隔为 k 的数个点按照原次序重新组合成一个新的环

如果上面这句话不好理解的话，对于题目给出的第三个样例画一下图就好理解了

综上所述，现在题目就转换为了，在数列 p 的所有环中，能否找到一个等差 k ，使得环上所有满足等差关系的位置：pos , pos + k , pos + 2 * k , pos + 3 * k 等等位置的颜色相同，维护这个最小的 k 就是答案了

到此为止这个题目剩下的就是实现了，比赛的时候明明已经到了这一步，却卡在了如何在环上找到等差的位置这里，不会实现，还是自己太菜了啊，赛后看了大佬的代码发现只需要nlogn维护因子就好了，因为如果想满足在环上满足等差，那么这个差值 k 一定是环的长度的因子，对于每个长度的因子，nlogn预处理一下就可以了

代码：
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;
      
typedef long long LL;

typedef unsigned long long ull;
      
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
const int N=2e5+100;

int p[N],c[N];

bool vis[N];

vector<int>d[N];

int cal(vector<int>loop)
{
	int mmin=inf;
	for(auto len:d[loop.size()])//枚举每个因子作为差值 k 
	{
		for(int i=0;i<len;i++)//枚举起点 
		{
			bool flag=true;
			for(int j=i;j<loop.size();j+=len)
			{
				if(c[loop[i]]!=c[loop[j]])
				{
					flag=false;
					break;
				}
			}
			if(flag)
				mmin=min(mmin,len);
		}
	}
	return mmin;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("input.txt","r",stdin);
//	freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	for(int i=1;i<N;i++)//预处理因子
		for(int j=i;j<N;j+=i)
			d[j].push_back(i);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",p+i);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",c+i);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			vis[i]=false;
		int ans=n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(vis[i])
				continue;
			int k=i;
			vector<int>loop;//找环
			while(!vis[k])
			{
				loop.push_back(k);
				vis[k]=true;
				k=p[k];
			}
			ans=min(ans,cal(loop));
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
    return 0;
}