二叉树插入和删除操作的递归实现（c语言）

链表和数组是最常见的数据结构，对于数据结构来说，查找（Find），最大最小值（FindMin，FindMax），插入（Insert）和删除（Delete）操作是最基本的操作。对于链表和数组来说，这些操作的时间界为O（N），其中N为元素的个数。数组的插入和删除需要对其他一些元素进行额外的移动操作，链表的查询操作是按顺序进行的，元素比较多的时候遍历操作需要花很多的时间。

直观上来讲，数组和链表都是线性结构，而二叉树每个节点的基本元素有三个，即关键字（Element），左孩子（Left）和右孩子（Right），整体上呈现分支结构，这样每个结构的长度就缩短了。因为二叉树有一个基本性质，即对每个节点来说，其左子树的所有节点关键字不大于该节点的关键字大小，其右子树的所有节点的关键字不小于该节点的关键字大小，所以使得对二叉树数据结构的基本操作都是沿分支路径进行的（它的结构使得这一操作是正确的），操作时间大大减少。可以证明，如果一棵二叉树的树高为h，则上述操作的时间界是O（h）。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#ifndef _Tree_H
struct TreeNode;
typedef struct TreeNode *Position;
typedef struct TreeNode *SearchTree;

SearchTree MakeEmpty(SearchTree T);
Position Find(int X, SearchTree T);
Position FindMin(SearchTree T);
Position FindMax(SearchTree T);
SearchTree Insert(int X, SearchTree T);
SearchTree Delete(int X, SearchTree T);
#endif /*_Tree_H*/


struct TreeNode
{
	int Element;
	SearchTree Left;
	SearchTree Right;
};

/*把一棵树清空*/
SearchTree
MakeEmpty(SearchTree T)
{
	if (T != NULL)
	{
		MakeEmpty(T->Left);
		MakeEmpty(T->Right);
		free(T);
	}
	return NULL;
}

/*查找操作*/
/*方法：从根节点开始，将欲查找的元素X与节点关键字作比较，如果比X小，则沿该节点右子树进行查找，
         如果比X大，则沿该节点左子树进行查找*/
Position
Find(int X, SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
		return NULL; 
	if (X < T->Element)
		return Find(X, T->Left);
	else
	if (X>T->Element)
		return Find(X, T->Right);
	else
		return T;
}

/*查找最小元素*/
/*方法：从根节点开始，沿左子树进行寻访，直到找到最左分支路径上最深的节点*/
Position
FindMin(SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
		return NULL;
	else
	if (T->Left == NULL)//最左分支路径上的最后一点节点；
		return T;
	else
		return FindMin(T->Left);//对于不满足条件的节点，沿其左子树进行寻访；
}

/*查找最大元素*/
/*方法：从根节点开始，沿右子树进行寻访，直到找到最右分支路径上最深的节点*/
/*对于Insert（X，T）函数来说，只有形参T==NULL时，返回值发生变化，否则每次递归结束，
 返回值都和形参相等，此时T->Left/Right=Insert（）不改变树的结构。*/
Position
FindMax(SearchTree T)
{
	if (T == NULL)
		return NULL;
	else
	if (T->Right == NULL)//最右分支路径上的最后一个节点；
		return T;
	else
		return FindMax(T->Right);//对于不满足条件的节点，沿其右子树进行寻访；
}

/*插入操作*/
/*方法：从根节点开始，通过将待插入元素X与节点元素进行比较，把X插入到寻访路径的最后一个节点上*/
SearchTree
Insert(int X, SearchTree T)
{
	if (X < T->Element)
		T->Left = Insert(X, T->Left);
	else
	if (X>T->Element)
		T->Right = Insert(X, T->Right);/*沿路径进行寻访，直到找到能够插入待插入元素的位置节点T1。T1表示路径上的最后一个节点,
						X或是其左孩子，或是其右孩子。当T==NULL时，Insert新建立一个叶节点T1，将关键字X存入其中。
					        然后Insert函数执行完毕，返回新节点T1，由于递归结束，所以跳转到前一级递归程序代码
						T1->Left/Right=Insert（）处继续执行，将T2放到T1的正确位置上，同时当前递归也结束，再退
						回到上一级递归处继续执行，以后的递归处执行的语句都不改变树的结构。*/
	else
	if (T==NULL)                      //将元素X放到新的节点中；
	{
		T = (SearchTree)malloc(sizeof(struct TreeNode));
		if (T == NULL)
			printf("Out of space!!!");
		else
		{
			T->Element = X;
			T->Left = T->Right = NULL;
		}
	}
	return T;
}

/*删除操作*/
/*方法：先找到要删除的元素X所在的节点，然后按照该节点T的结构分成三种情况：
      case1：T为叶节点。处理方法：直接将T删除即可，把T置为NULL；
      case2：T有且仅有一个子树。处理方法:将T删除，然后将其子树移到T的位置；
      case3：T有两个子树。处理方法：先找到X的后继Y（Y一定在T的右子树中），然
	         后将T与Y交换，最后把Y删除。*/
SearchTree
Delete(int X, SearchTree T)
{
	Position TmpCell;
	if (T == NULL)
		printf("Element not find!!!");
	else
	if (X<T->Element)
		T->Left = Delete(X, T->Left);
	else
	if (X>T->Element)
		T->Right = Delete(X, T->Right);//沿路径对删除元素X进行寻访；
	else
	if (T->Left&&T->Right)            //case3
	{
		TmpCell = FindMin(T->Right);  //寻找T的后继Y；
		T->Element = TmpCell->Element;//交换T和Y；
		T->Right = Delete(T->Element, T->Right);//删除后继Y；
	}
	else                             //case1和case2；
	{
		TmpCell = T;
		if (T->Left == NULL)
			T = T->Right;
		else if (T->Right == NULL)
			T = T->Left;
		free(TmpCell);
	}
	return T;
}