「CTSC1997」选课

Description

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有 N 门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择 M 门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

Input

第一行有两个整数 N , M 用空格隔开。(1≤N≤300，1≤M≤300 )

接下来的 N 行,第 I+1 行包含两个整数 k_i 和 s_i，k_i 表示第I门课的直接先修课，s_i 表示第I门课的学分。若 ki=0 表示没有直接先修课（1≤k_i≤N，1≤s_i≤20）。

Output

只有一行，选 M 门课程的最大得分。

Solution

因为每门课的的先修课最多只有一门（对应着树中每个结点至多只有1个父结点），所以这N门课程构成了森林结构（若干棵树，因为可能有不止一门课没有先修课）。为简便起见，我们可以新建一个“虚拟课程”——0号结点，作为“实际上没有先修课的课程”的先修课，把包含N个结点的森林转化为包含N+1个结点的树，其中结点0为根结点。

设f[x][t]表示在以x为根的子树中选t门课能够获得的最高学分，设x的子结点集合为Son(x)，子结点个数p=|Son(x)|。修完x这门课后，对于x的每个子结点y∈Son(x)，我们可以在以y为根的子树中选修若干门课（记为c_i），在满足Σ_ci=t-1的基础上获得尽量多的学分。

当t=0时，显然f[x][t]=0。当t>0时，根据以上分析，状态转移方程如下：

$f[x][t]=max{\sum_{i=1}^{p}f[y_i][c_i]}+score[x]$

需满足 $\sum_{i=1}^{p} c_i=t-1$

这个方程其实是一个分组背包模型（瞎猜）。有 P=|Son(x)| 组物品，每组物品都有 t-1，其中第i组的第j个物品的体积为j，价值为f[y][j]，背包的总容积为t-1。我们要从每组中选出不超过1个物品（每个子结点y只能选一个状态转移到x），使得物品体积不超过t-1的前提下（在修完x后，还能选修t-1门课），物品价值总和最大（获得最多学分）。当然，x=0是一个特例，因为虚拟的根结点实际上不需要被选修，此时背包总体积应为t。我们用分组背包进行树形DP的状态转移。

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按照这个做法乱搞一下就AC啦我白嫖了

code

放个奇怪的代码叭

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define int long long
 3 using namespace std;
 4 const int N=310;
 5 int n,m,x,f[N][N],s[N];
 6 vector<int>son[N];
 7 void dp(int x){
 8     f[x][0]=0;
 9     for(int i=0;i<son[x].size();i++){
10         int y=son[x][i]; dp(y);
11         for(int t=m;t>=0;t--)
12             for(int j=t;j>=0;j--)
13                 f[x][t]=max(f[x][t],f[x][t-j]+f[y][j]);
14     }
15     if(x!=0) for(int t=m;t>0;t--) f[x][t]=f[x][t-1]+s[x];
16 }
17 signed main(){
18     //freopen(".in","r",stdin);
19     //freopen(".out","w",stdout);
20     scanf("%lld%lld",&n,&m);
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         scanf("%lld%lld",&x,&s[i]);
23         son[x].push_back(i);
24     }
25     dp(0),printf("%lld\n",f[0][m]);
26     return 0;
27 } 

 此蒟蒻不会树形dp，有错欢迎更正

顺便说一句：杜老师天下第一