【数据结构与算法】AVL树（1）——简介

AVL树的来源

  AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis。在计算机科学中，AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。

AVL树的定义

·它是一棵二叉搜索树；

·对任意结点X，X左右子树的高度差至多为1。

图1

图2

  例如，图1和图2都是二叉搜索树，但是图1是AVL树，而图2不是，因为图2的12这个结点的左右子树的高度差的绝对值为2。

AVL树的高度

  我们假设AVL树的高度为h，N(h)表示高度为h的AVL树包含的结点数。

最小结点数

  如果我们将左子树填充为高度为h-1的树，那么我们应该把右子树填充为高度为h-2的树。因此，高度为h的AVL树具有的最小结点数为：

  
  
   
   N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1
  
  

  由递推公式可得：

  
  
   
   N(h) = O(1.68h) ⇒ 1.44logn ≈ O(logn)
  
  

  其中，n为AVL树中的结点个数，AVL树的最大高度为O(logn)。

最大结点数

  我们需要将左右子树都填充为高度为h-1的树。因此，我们得到：

  
  
   
   N(h) = 2N(h-1)) + 1
  
  

  上面的公式定义的是满二叉树的情况。求解该递推公式得到：

  
  
   
   N(h) = O(2h) ⇒ logn ≈ O(logn)
  
  

  所以，在两种情况中AVL树性质使得具有n个结点的AVL树的高度为O(logn)。因此，查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(logn)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。

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